Номер 145, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §4. Тождественно равные выражения. Тождества - номер 145, страница 35.

Условие.

145. Докажите, что не являются тождественно равными выражения:

1) $4 - m^2$ и $(2 - m)^2$;

2) $|-m|$ и $m$;

3) $m^3 + 8$ и $(m + 2) (m^2 + 4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что выражения $4 - m^2$ и $(2 - m)^2$ не являются тождественно равными, достаточно найти хотя бы одно значение переменной $m$, при котором значения этих выражений не равны.

Преобразуем второе выражение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2 - m)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot m + m^2 = 4 - 4m + m^2$.

Теперь сравним два выражения: $4 - m^2$ и $4 - 4m + m^2$. Очевидно, что эти многочлены не равны. Для доказательства этого факта подставим произвольное значение $m$, например, $m = 1$.
Вычислим значение первого выражения: $4 - m^2 = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
Вычислим значение второго выражения: $(2 - m)^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.

Поскольку при $m = 1$ значения выражений различны ($3 \neq 1$), они не являются тождественно равными.

Ответ: выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=1$ их значения (3 и 1) не равны.

2) Чтобы доказать, что выражения $|-m|$ и $m$ не являются тождественно равными, найдем значение переменной $m$, при котором их значения будут различны.

По определению, модуль числа — это неотрицательная величина. Выражение $|-m|$ всегда будет больше или равно нулю. Выражение $m$ может принимать любые действительные значения, включая отрицательные.

Равенство $|-m| = m$ выполняется только для неотрицательных значений $m$ (то есть при $m \ge 0$). Если выбрать любое отрицательное значение $m$, равенство не будет верным.

Возьмем, к примеру, $m = -3$.
Значение первого выражения: $|-m| = |-(-3)| = |3| = 3$.
Значение второго выражения: $m = -3$.
Поскольку $3 \neq -3$, данные выражения не являются тождественно равными.

Ответ: выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=-3$ их значения (3 и -3) не равны.

3) Чтобы доказать, что выражения $m^3 + 8$ и $(m + 2)(m^2 + 4)$ не являются тождественно равными, можно преобразовать их или найти конкретное значение $m$, при котором их значения не совпадают.

Рассмотрим первое выражение $m^3 + 8$. Это сумма кубов, которую можно разложить на множители по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$m^3 + 8 = m^3 + 2^3 = (m + 2)(m^2 - 2m + 4)$.

Сравним полученное выражение $(m + 2)(m^2 - 2m + 4)$ со вторым выражением $(m + 2)(m^2 + 4)$. Так как множители $(m^2 - 2m + 4)$ и $(m^2 + 4)$ не равны при $m \neq 0$, то и исходные выражения не являются тождественно равными.

Для наглядности подставим значение $m = 1$ в оба исходных выражения.
Значение первого выражения: $m^3 + 8 = 1^3 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Значение второго выражения: $(m + 2)(m^2 + 4) = (1 + 2)(1^2 + 4) = 3 \cdot (1 + 4) = 3 \cdot 5 = 15$.
Поскольку $9 \neq 15$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=1$ их значения (9 и 15) не равны.