Номер 144, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §4. Тождественно равные выражения. Тождества - номер 144, страница 34.

Условие.

144. Докажите, что не является тождеством равенство:

1) $(a+3)^2 = a^2+9;$

2) $(b-1)(b+1) = (b-1)b+1;$

3) $(c+1)^3 = c^3+1;$

4) $|m|-|n| = |n|-|m|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства того, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной (контрпример), при котором равенство не выполняется, либо преобразовать одну из частей равенства и показать, что она не тождественна другой.

1) $(a + 3)^2 = a^2 + 9;$

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:$(a+3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$. Сравним полученное выражение с правой частью: $a^2 + 6a + 9 \ne a^2 + 9$. Равенство будет верным только при $6a=0$, то есть при $a=0$. Так как оно неверно для всех остальных значений $a$, оно не является тождеством.

В качестве контрпримера можно подставить любое значение $a$, кроме нуля. Например, пусть $a=1$:Левая часть: $(1 + 3)^2 = 4^2 = 16$. Правая часть: $1^2 + 9 = 1 + 9 = 10$. Поскольку $16 \ne 10$, равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как $(a+3)^2 = a^2+6a+9$, что не равно $a^2+9$ для всех $a$.

2) $(b - 1)(b + 1) = (b - 1)b + 1;$

Преобразуем левую и правую части равенства по отдельности. Левая часть (по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$):$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$. Правая часть (раскроем скобки):$(b - 1)b + 1 = b \cdot b - 1 \cdot b + 1 = b^2 - b + 1$. Сравнивая преобразованные части, видим, что $b^2 - 1 \ne b^2 - b + 1$ для большинства значений $b$.

Подберем контрпример. Пусть $b=2$:Левая часть: $(2 - 1)(2 + 1) = 1 \cdot 3 = 3$. Правая часть: $(2 - 1) \cdot 2 + 1 = 1 \cdot 2 + 1 = 3$. Здесь равенство случайно выполнилось. Попробуем другое значение, например, $b=3$:Левая часть: $(3 - 1)(3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8$. Правая часть: $(3 - 1) \cdot 3 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Поскольку $8 \ne 7$, равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как после преобразований левая часть равна $b^2-1$, а правая $b^2-b+1$.

3) $(c + 1)^3 = c^3 + 1;$

Преобразуем левую часть, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:$(c + 1)^3 = c^3 + 3 \cdot c^2 \cdot 1 + 3 \cdot c \cdot 1^2 + 1^3 = c^3 + 3c^2 + 3c + 1$. Сравним результат с правой частью: $c^3 + 3c^2 + 3c + 1 \ne c^3 + 1$. Равенство верно только при $3c^2+3c=0$, то есть при $c=0$ или $c=-1$. Для остальных значений $c$ оно неверно.

Приведем контрпример. Пусть $c=2$:Левая часть: $(2 + 1)^3 = 3^3 = 27$. Правая часть: $2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$. Поскольку $27 \ne 9$, равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как $(c+1)^3 = c^3+3c^2+3c+1$, что не равно $c^3+1$ для всех $c$.

4) $|m| - |n| = |n| - |m|.$

Перенесем все члены в одну сторону:$|m| - |n| - (|n| - |m|) = 0$$|m| - |n| - |n| + |m| = 0$$2|m| - 2|n| = 0$$2(|m| - |n|) = 0$$|m| = |n|$. Это означает, что исходное равенство верно только для тех чисел $m$ и $n$, модули которых равны. Поскольку это условие выполняется не для всех пар чисел $m$ и $n$, равенство не является тождеством.

Приведем контрпример. Пусть $m=5$ и $n=3$:Левая часть: $|5| - |3| = 5 - 3 = 2$. Правая часть: $|3| - |5| = 3 - 5 = -2$. Поскольку $2 \ne -2$, равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно выполняется только при условии $|m|=|n|$, а не для произвольных $m$ и $n$.