Номер 141, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §4. Тождественно равные выражения. Тождества - номер 141, страница 34.

Условие.

141. Запишите в виде равенства утверждение:

1) сумма противоположных чисел равна нулю;

$a + (-a) = 0$

2) произведение данного числа и числа 1 равно 1;

$a \cdot 1 = 1$

3) произведением данного числа и числа $-1$ является число, противоположное данному;

$a \cdot (-1) = -a$

4) модули противоположных чисел равны;

$|a| = |-a|$

5) разность противоположных чисел равна нулю.

$a - (-a) = 0$

Какие из этих равенств являются тождествами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Обозначим произвольное число переменной $a$. Тогда противоположное ему число будет $-a$. Сумма этих двух чисел записывается как $a + (-a)$. Утверждение гласит, что эта сумма равна нулю. Таким образом, получаем равенство: $a + (-a) = 0$. Это равенство является верным для любого значения $a$, поскольку $a - a = 0$ всегда. Следовательно, это тождество.
Ответ: $a + (-a) = 0$.

2) Обозначим данное число переменной $a$. Произведение этого числа и числа 1 равно $a \cdot 1$. Утверждение гласит, что это произведение равно 1. Получаем равенство: $a \cdot 1 = 1$. Упростив левую часть, имеем $a=1$. Это равенство верно только при одном значении переменной ($a=1$), а не при всех, поэтому оно не является тождеством.
Ответ: $a \cdot 1 = 1$.

3) Обозначим данное число переменной $a$. Произведение этого числа и числа $-1$ равно $a \cdot (-1)$. Число, противоположное данному, это $-a$. Утверждение гласит, что произведение равно противоположному числу. Получаем равенство: $a \cdot (-1) = -a$. Это равенство верно для любого значения $a$ по определению умножения на $-1$. Следовательно, это тождество.
Ответ: $a \cdot (-1) = -a$.

4) Обозначим произвольное число переменной $a$, а противоположное ему — $-a$. Модуль числа $a$ записывается как $|a|$, а модуль числа $-a$ — как $|-a|$. Утверждение гласит, что их модули равны. Получаем равенство: $|a| = |-a|$. Модуль числа представляет собой расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета. Противоположные числа равноудалены от нуля, поэтому это равенство верно для любого значения $a$. Следовательно, это тождество.
Ответ: $|a| = |-a|$.

5) Обозначим произвольное число переменной $a$, а противоположное ему — $-a$. Разность этих чисел равна $a - (-a)$. Утверждение гласит, что эта разность равна нулю. Получаем равенство: $a - (-a) = 0$. Упростив левую часть, имеем $a + a = 0$, то есть $2a = 0$. Это равенство верно только при $a=0$, а не при всех значениях переменной, поэтому оно не является тождеством.
Ответ: $a - (-a) = 0$.

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Из полученных равенств тождествами являются те, что указаны в пунктах 1, 3 и 4.