Номер 140, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §4. Тождественно равные выражения. Тождества - номер 140, страница 34.

Условие.

140. Какие из данных равенств являются тождествами:

1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$

2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$

3) $|a + 5| = a + 5$

4) $|a - b| = |b - a|$

5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$

6) $|a + b| = |a| + |b|$

7) $|a - 1| = |a| - 1$

8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Проверим каждое из данных равенств.

1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$

Преобразуем правую часть равенства. Вынесем $-1$ за скобки в выражении $(3b - 2a)$:

$3b - 2a = - (2a - 3b)$

Тогда правая часть примет вид: $(-(2a - 3b))^2$.

Используя свойство степени $(-x)^2 = x^2$, получаем, что $(-(2a - 3b))^2 = (2a - 3b)^2$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой. Равенство верно для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: является тождеством.

2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$

Преобразуем правую часть равенства. Вынесем $-1$ за скобки в выражении $(b - a)$:

$b - a = - (a - b)$

Тогда правая часть примет вид: $(-(a - b))^3$.

Используя свойство степени $(-x)^3 = -x^3$, получаем, что $(-(a - b))^3 = -(a - b)^3$.

Исходное равенство превращается в $(a - b)^3 = -(a - b)^3$. Это равенство выполняется только тогда, когда $(a - b)^3 = 0$, то есть при $a = b$. Поскольку оно неверно для всех значений переменных (например, при $a=2, b=1$ получаем $1 = -1$), оно не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

3) $|a + 5| = a + 5$

По определению, модуль числа $|x|$ равен $x$ только в том случае, если $x \ge 0$.

Следовательно, равенство $|a + 5| = a + 5$ верно только при условии $a + 5 \ge 0$, то есть при $a \ge -5$.

Если $a < -5$, равенство не выполняется. Например, при $a = -10$: $|-10 + 5| = |-5| = 5$, а $-10 + 5 = -5$. Получаем $5 \ne -5$.

Ответ: не является тождеством.

4) $|a - b| = |b - a|$

Воспользуемся свойством модуля $|-x| = |x|$.

Выражение в правой части можно представить как $|b - a| = |-(a - b)|$.

Согласно свойству модуля, $|-(a - b)| = |a - b|$.

Таким образом, левая часть равна правой для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: является тождеством.

5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $a^2 + 4$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то $a^2 + 4 \ge 4$.

Выражение $a^2 + 4$ всегда положительно, а модуль положительного числа равен самому числу. Следовательно, равенство верно для любого значения $a$.

Ответ: является тождеством.

6) $|a + b| = |a| + |b|$

Это равенство (равенство в неравенстве треугольника) выполняется только в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или хотя бы одно из них равно нулю ($ab \ge 0$).

Если числа имеют разные знаки, равенство неверно. Например, при $a = 1$ и $b = -2$:

Левая часть: $|1 + (-2)| = |-1| = 1$.

Правая часть: $|1| + |-2| = 1 + 2 = 3$.

$1 \ne 3$.

Ответ: не является тождеством.

7) $|a - 1| = |a| - 1$

Это равенство не всегда верно. Проверим, например, при $a=0$:

Левая часть: $|0 - 1| = |-1| = 1$.

Правая часть: $|0| - 1 = 0 - 1 = -1$.

$1 \ne -1$.

Так как равенство выполняется не для всех значений $a$, оно не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$

Левая часть — это формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Правая часть — это формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Равенство $(a - b)(a + b) = a^2 - 2ab + b^2$ не является верным в общем случае. Например, при $a = 2, b = 1$:

Левая часть: $2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Правая часть: $(2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.

$3 \ne 1$.

Ответ: не является тождеством.