Номер 6, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 5 - номер 6, страница 38.

Условие.

6. Каким числом, положительным или отрицательным, является значение степени отрицательного числа, если показатель степени является чётным числом? Нечётным числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Если показатель степени является чётным числом

При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда будет положительным числом.

Рассмотрим это на общем примере. Пусть у нас есть отрицательное число $-a$ (где $a > 0$) и чётный показатель степени $n$, который можно представить как $n = 2k$ (где $k$ — натуральное число).

Возведение в степень означает умножение числа на само себя $n$ раз:

$(-a)^n = (-a)^{2k} = \underbrace{(-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a)}_{2k \text{ раз}}$

Поскольку количество сомножителей чётное, мы можем сгруппировать их попарно. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно: $(-a) \cdot (-a) = a^2$.

$(-a)^{2k} = \underbrace{((-a) \cdot (-a)) \cdot ((-a) \cdot (-a)) \cdot \ldots \cdot ((-a) \cdot (-a))}_{k \text{ пар}} = \underbrace{a^2 \cdot a^2 \cdot \ldots \cdot a^2}_{k \text{ раз}} = (a^2)^k = a^{2k}$

Так как $a > 0$, то и $a^{2k}$ будет больше нуля, то есть результат будет положительным.

Пример: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: положительным числом.

Если показатель степени является нечётным числом

При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда будет отрицательным числом.

Рассмотрим это на общем примере. Пусть у нас есть отрицательное число $-a$ (где $a > 0$) и нечётный показатель степени $n$, который можно представить как $n = 2k+1$ (где $k$ — целое неотрицательное число).

$(-a)^n = (-a)^{2k+1} = \underbrace{(-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a)}_{2k+1 \text{ раз}}$

Мы можем сгруппировать $2k$ сомножителей попарно, как в предыдущем случае. Их произведение будет положительным и равным $a^{2k}$. Но у нас останется один множитель $(-a)$.

$(-a)^{2k+1} = ((-a)^{2k}) \cdot (-a) = a^{2k} \cdot (-a) = -a^{2k+1}$

В итоге мы умножаем положительное число $a^{2k}$ на отрицательное число $-a$. Произведение положительного и отрицательного числа всегда отрицательно.

Пример: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.

Ответ: отрицательным числом.