Номер 1154, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1154, страница 228.

Условие.

1154. Существуют ли такие значения $x$ и $y$, при которых многочлены $-4x^2 - 12xy + 7y^2$ и $6x^2 + 12xy - 5y^2$ одновременно принимают отрицательные значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для ответа на этот вопрос проанализируем данные многочлены. Пусть первый многочлен равен $A = -4x^2 - 12xy + 7y^2$, а второй — $B = 6x^2 + 12xy - 5y^2$.

Мы ищем такие значения x и y, для которых одновременно выполняются два условия:

$A < 0$

$B < 0$

Если два числа отрицательны, то их сумма также должна быть отрицательной. Следовательно, если такие x и y существуют, то для них должно выполняться неравенство $A + B < 0$.

Найдем сумму этих двух многочленов:

$A + B = (-4x^2 - 12xy + 7y^2) + (6x^2 + 12xy - 5y^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$A + B = (-4x^2 + 6x^2) + (-12xy + 12xy) + (7y^2 - 5y^2) = 2x^2 + 2y^2$

Сумма многочленов равна $2(x^2 + y^2)$.

Рассмотрим полученное выражение. Для любых действительных чисел x и y их квадраты являются неотрицательными числами:

$x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$

Поэтому их сумма также всегда неотрицательна:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Умножив на 2, получаем:

$2(x^2 + y^2) \ge 0$

Это означает, что сумма многочленов $A + B$ не может быть отрицательной ни при каких значениях x и y. Мы пришли к противоречию: из предположения, что $A < 0$ и $B < 0$, следует, что $A + B < 0$, но мы показали, что $A + B \ge 0$ всегда.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Не существует таких значений x и y, при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения.

Ответ: не существуют.