Номер 1158, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1158, страница 228.

Условие.

1158. Докажите тождество:

1) $-0,2x^3(2,5x - 4)(6 - x^2) = 0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$

2) $(a - 2)(a^2 + 3a - 18) = (a - 3)(a^2 + 4a - 12)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества $-0,2x^3(2,5x - 4)(6 - x^2) = 0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.

Сначала выполним умножение многочленов в скобках:

$(2,5x - 4)(6 - x^2) = 2,5x \cdot 6 + 2,5x \cdot (-x^2) - 4 \cdot 6 - 4 \cdot (-x^2) = 15x - 2,5x^3 - 24 + 4x^2$.

Запишем полученный многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $x$):

$-2,5x^3 + 4x^2 + 15x - 24$.

Теперь умножим результат на одночлен $-0,2x^3$:

$-0,2x^3(-2,5x^3 + 4x^2 + 15x - 24) = (-0,2x^3) \cdot (-2,5x^3) + (-0,2x^3) \cdot (4x^2) + (-0,2x^3) \cdot (15x) - (-0,2x^3) \cdot (24) = 0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$.

Сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:

$0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3 = 0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a - 2)(a^2 + 3a - 18) = (a - 3)(a^2 + 4a - 12)$ преобразуем обе его части.

Способ 1. Раскрытие скобок.

Преобразуем левую часть, умножив двучлен на многочлен:

$(a - 2)(a^2 + 3a - 18) = a \cdot (a^2 + 3a - 18) - 2 \cdot (a^2 + 3a - 18) = a^3 + 3a^2 - 18a - 2a^2 - 6a + 36$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (3a^2 - 2a^2) + (-18a - 6a) + 36 = a^3 + a^2 - 24a + 36$.

Теперь преобразуем правую часть:

$(a - 3)(a^2 + 4a - 12) = a \cdot (a^2 + 4a - 12) - 3 \cdot (a^2 + 4a - 12) = a^3 + 4a^2 - 12a - 3a^2 - 12a + 36$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (4a^2 - 3a^2) + (-12a - 12a) + 36 = a^3 + a^2 - 24a + 36$.

Так как левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же виду $a^3 + a^2 - 24a + 36$, тождество доказано.

Способ 2. Разложение на множители.

Разложим на множители квадратные трехчлены в левой и правой частях.

Для левой части: $a^2 + 3a - 18$. Решим уравнение $a^2 + 3a - 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -3$, а произведение $a_1 \cdot a_2 = -18$. Корни равны $a_1 = -6$ и $a_2 = 3$. Тогда $a^2 + 3a - 18 = (a - (-6))(a - 3) = (a + 6)(a - 3)$.

Левая часть примет вид: $(a - 2)(a + 6)(a - 3)$.

Для правой части: $a^2 + 4a - 12$. Решим уравнение $a^2 + 4a - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -4$, а произведение $a_1 \cdot a_2 = -12$. Корни равны $a_1 = -6$ и $a_2 = 2$. Тогда $a^2 + 4a - 12 = (a - (-6))(a - 2) = (a + 6)(a - 2)$.

Правая часть примет вид: $(a - 3)(a + 6)(a - 2)$.

Сравним преобразованные части:

$(a - 2)(a + 6)(a - 3) = (a - 3)(a + 6)(a - 2)$.

В силу переместительного закона умножения эти выражения равны. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.