Номер 1165, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1165, страница 229.

Условие.

1165.Докажите, что число:

1) $ \overline{abba} $ делится нацело на 11;

2) $ \overline{aaabbb} $ делится нацело на 37;

3) $ \overline{ababab} $ делится нацело на 7;

4) $ \overline{abab} - \overline{baba} $ делится нацело на 9 и на 101.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $\overline{abba}$ делится нацело на 11;
Запишем число $\overline{abba}$ в виде суммы разрядных слагаемых, где a и b – это цифры числа:
$\overline{abba} = 1000a + 100b + 10b + a$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
$(1000a + a) + (100b + 10b) = 1001a + 110b$
Разложим коэффициенты на множители. Известно, что $1001 = 11 \times 91$ и $110 = 11 \times 10$.
Подставим эти значения в выражение:
$1001a + 110b = (11 \times 91)a + (11 \times 10)b$
Вынесем общий множитель 11 за скобки:
$11(91a + 10b)$
Поскольку число $\overline{abba}$ можно представить в виде произведения числа 11 и некоторого целого числа $(91a + 10b)$, то оно делится на 11 нацело, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) $\overline{aaabbb}$ делится нацело на 37;
Представим число $\overline{aaabbb}$ в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaabbb} = 100000a + 10000a + 1000a + 100b + 10b + b$
Сгруппируем слагаемые:
$(100000 + 10000 + 1000)a + (100 + 10 + 1)b = 111000a + 111b$
Вынесем общий множитель 111 за скобки:
$111(1000a + b)$
Проверим, делится ли число 111 на 37.
$111 = 3 \times 37$
Следовательно, исходное выражение можно записать так:
$3 \times 37 \times (1000a + b)$
Так как число $\overline{aaabbb}$ можно представить в виде произведения числа 37 и целого числа $3(1000a + b)$, оно делится на 37 нацело.
Ответ: Доказано.

3) $\overline{ababab}$ делится нацело на 7;
Запишем число $\overline{ababab}$, используя двузначное число $\overline{ab} = 10a + b$:
$\overline{ababab} = \overline{ab} \times 10000 + \overline{ab} \times 100 + \overline{ab} \times 1$
Вынесем $\overline{ab}$ за скобки:
$\overline{ababab} = \overline{ab} \times (10000 + 100 + 1) = \overline{ab} \times 10101$
Проверим, делится ли число 10101 на 7:
$10101 \div 7 = 1443$
Таким образом, $10101 = 7 \times 1443$.
Подставим это в наше выражение:
$\overline{ababab} = \overline{ab} \times 7 \times 1443 = 7 \times (\overline{ab} \times 1443)$
Поскольку число $\overline{ababab}$ можно представить в виде произведения числа 7 и целого числа $(\overline{ab} \times 1443)$, оно делится на 7 нацело.
Ответ: Доказано.

4) $\overline{abab} - \overline{baba}$ делится нацело на 9 и на 101.
Запишем каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{abab} = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b$
$\overline{baba} = 1000b + 100a + 10b + a = 101a + 1010b$
Теперь найдем их разность:
$\overline{abab} - \overline{baba} = (1010a + 101b) - (101a + 1010b)$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$1010a - 101a + 101b - 1010b = 909a - 909b$
Вынесем общий множитель 909 за скобки:
$909(a - b)$
Разложим число 909 на множители, чтобы проверить делимость на 9 и 101:
$909 = 9 \times 101$
Следовательно, разность равна:
$9 \times 101 \times (a - b)$
Из этого выражения видно, что результат делится нацело и на 9, и на 101, так как он содержит оба этих числа в качестве множителей.
Ответ: Доказано.