Номер 1171, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1171, страница 230.

Условие.

1171. Упростите выражение:

1) $6x^2 + (2y - 3x)(2y + 3x)$;

2) $(a + 2)(a - 3) - (4 - a)(a + 4)$;

3) $(5 - 2x)(5 + 2x) - (3 - 2x)(4 - 2x)$;

4) $(2ab + 1)(2ab - 1)(16a^4b^4 + 1)(4a^2b^2 + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $6x^2 + (2y - 3x)(2y + 3x)$

Для упрощения произведения $(2y - 3x)(2y + 3x)$ воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 2y$ и $b = 3x$.

$(2y - 3x)(2y + 3x) = (2y)^2 - (3x)^2 = 4y^2 - 9x^2$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$6x^2 + (4y^2 - 9x^2) = 6x^2 + 4y^2 - 9x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 9x^2) + 4y^2 = -3x^2 + 4y^2$

Ответ: $4y^2 - 3x^2$

2) $(a + 2)(a - 3) - (4 - a)(a + 4)$

Сначала раскроем скобки в каждой части выражения. Для первой части перемножим многочлены:

$(a + 2)(a - 3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 2 \cdot a + 2 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 2a - 6 = a^2 - a - 6$

Для второй части $(4 - a)(a + 4)$ можно переставить слагаемые во второй скобке, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(4 - a)(4 + a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(a^2 - a - 6) - (16 - a^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$a^2 - a - 6 - 16 + a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) - a + (-6 - 16) = 2a^2 - a - 22$

Ответ: $2a^2 - a - 22$

3) $(5 - 2x)(5 + 2x) - (3 - 2x)(4 - 2x)$

Первая часть выражения, $(5 - 2x)(5 + 2x)$, является разностью квадратов:

$(5 - 2x)(5 + 2x) = 5^2 - (2x)^2 = 25 - 4x^2$

Вторую часть, $(3 - 2x)(4 - 2x)$, раскрываем путем перемножения многочленов:

$(3 - 2x)(4 - 2x) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-2x) - 2x \cdot 4 - 2x \cdot (-2x) = 12 - 6x - 8x + 4x^2 = 12 - 14x + 4x^2$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(25 - 4x^2) - (12 - 14x + 4x^2)$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них:

$25 - 4x^2 - 12 + 14x - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 - 4x^2) + 14x + (25 - 12) = -8x^2 + 14x + 13$

Ответ: $-8x^2 + 14x + 13$

4) $(2ab + 1)(2ab - 1)(16a^4b^4 + 1)(4a^2b^2 + 1)$

Перегруппируем множители для удобства и последовательного применения формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(2ab - 1)(2ab + 1)(4a^2b^2 + 1)(16a^4b^4 + 1)$

Начнем с первых двух множителей:

$(2ab - 1)(2ab + 1) = (2ab)^2 - 1^2 = 4a^2b^2 - 1$

Теперь выражение принимает вид:

$(4a^2b^2 - 1)(4a^2b^2 + 1)(16a^4b^4 + 1)$

Снова применим формулу разности квадратов к первым двум множителям полученного выражения:

$(4a^2b^2 - 1)(4a^2b^2 + 1) = (4a^2b^2)^2 - 1^2 = 16a^4b^4 - 1$

Теперь выражение выглядит так:

$(16a^4b^4 - 1)(16a^4b^4 + 1)$

И в последний раз применяем ту же формулу:

$(16a^4b^4 - 1)(16a^4b^4 + 1) = (16a^4b^4)^2 - 1^2 = 256a^8b^8 - 1$

Ответ: $256a^8b^8 - 1$