Номер 1174, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1174, страница 230.

Условие.

1174. Докажите, что значение выражения

$(a + b - c)(a - b) + (b + c - a)(b - c) + (c + a - b)(c - a)$

тождественно равно нулю.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства того, что значение данного выражения тождественно равно нулю, необходимо раскрыть скобки в каждом из трёх слагаемых и привести подобные члены.

1. Упрощение первого слагаемого $(a + b - c)(a - b)$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения (умножим каждый член первой скобки на каждый член второй):

$(a + b - c)(a - b) = a \cdot a + b \cdot a - c \cdot a - a \cdot b - b \cdot b + c \cdot b = a^2 + ab - ac - ab - b^2 + bc$

Теперь приведём подобные слагаемые ($ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются):

$a^2 - b^2 - ac + bc$

2. Упрощение второго слагаемого $(b + c - a)(b - c)$

Аналогично раскроем скобки для второго слагаемого:

$(b + c - a)(b - c) = b \cdot b + c \cdot b - a \cdot b - b \cdot c - c \cdot c + a \cdot c = b^2 + bc - ab - bc - c^2 + ac$

Приведём подобные слагаемые ($bc$ и $-bc$ взаимно уничтожаются):

$b^2 - c^2 - ab + ac$

3. Упрощение третьего слагаемого $(c + a - b)(c - a)$

Раскроем скобки для третьего слагаемого:

$(c + a - b)(c - a) = c \cdot c + a \cdot c - b \cdot c - c \cdot a - a \cdot a + b \cdot a = c^2 + ac - bc - ac - a^2 + ab$

Приведём подобные слагаемые ($ac$ и $-ac$ взаимно уничтожаются):

$c^2 - a^2 - bc + ab$

4. Сложение результатов и завершение доказательства

Теперь сложим все три полученных выражения:

$(a^2 - b^2 - ac + bc) + (b^2 - c^2 - ab + ac) + (c^2 - a^2 - bc + ab)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными, чтобы упростить выражение:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) + (-ab + ab) + (bc - bc) + (-ac + ac)$

Как мы видим, все слагаемые взаимно уничтожаются:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения тождественно равно нулю.

Ответ: значение выражения тождественно равно 0.