Номер 1180, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1180, страница 230.

Условие.

1180. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1$ кратно 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения кратно 4 при любом натуральном значении $n$, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение: $16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1$.

Первым шагом раскроем скобки, возведя трёхчлен в квадрат. Для этого можно использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, сгруппировав слагаемые:

$(4n^2 - 2n - 1)^2 = ((4n^2 - 2n) - 1)^2 = (4n^2 - 2n)^2 - 2(4n^2 - 2n) \cdot 1 + 1^2$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$= ((4n^2)^2 - 2 \cdot 4n^2 \cdot 2n + (2n)^2) - 8n^2 + 4n + 1$

$= (16n^4 - 16n^3 + 4n^2) - 8n^2 + 4n + 1$

$= 16n^4 - 16n^3 - 4n^2 + 4n + 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$16n^4 - (16n^4 - 16n^3 - 4n^2 + 4n + 1) + 8n + 1$

Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$16n^4 - 16n^4 + 16n^3 + 4n^2 - 4n - 1 + 8n + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(16n^4 - 16n^4) + 16n^3 + 4n^2 + (-4n + 8n) + (-1 + 1) = 16n^3 + 4n^2 + 4n$

Итак, исходное выражение тождественно равно $16n^3 + 4n^2 + 4n$.

Чтобы доказать, что это выражение делится на 4, вынесем общий множитель 4 за скобки:

$16n^3 + 4n^2 + 4n = 4(4n^3 + n^2 + n)$

По условию, $n$ — натуральное число. Это означает, что $n$ является целым положительным числом. Тогда выражения $n^3$, $n^2$ и $n$ также являются целыми числами. Сумма и произведение целых чисел всегда являются целым числом. Следовательно, выражение в скобках $4n^3 + n^2 + n$ при любом натуральном $n$ принимает целые значения.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $4k$, где $k = 4n^3 + n^2 + n$ — целое число. Любое число, представимое в виде произведения целого числа на 4, кратно 4.

Что и требовалось доказать.

Ответ: поскольку исходное выражение тождественно равно $4(4n^3 + n^2 + n)$, и при любом натуральном $n$ выражение в скобках является целым числом, то значение исходного выражения всегда кратно 4.