Номер 1179, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1179, страница 230.

Условие.

1179. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$ кратно 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно 6 при любом натуральном $n$, необходимо сначала упростить данное выражение.

Упрощение выражения

Раскроем скобки в выражении $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$.

Сначала возведем в квадрат трехчлен $(n^2 - 3n + 1)$, используя формулу квадрата суммы $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:

$(n^2 - 3n + 1)^2 = (n^2)^2 + (-3n)^2 + 1^2 + 2(n^2)(-3n) + 2(n^2)(1) + 2(-3n)(1) = n^4 + 9n^2 + 1 - 6n^3 + 2n^2 - 6n$

Приведем подобные слагаемые:

$n^4 - 6n^3 + (9n^2 + 2n^2) - 6n + 1 = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1) - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$

Приведем подобные слагаемые еще раз, сгруппировав их:

$(n^4 - n^4) - 6n^3 + (11n^2 - 8n^2) + (-6n + 3n) + (1 + 5) = -6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$

Доказательство кратности 6

Мы получили выражение $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$. Чтобы доказать, что оно кратно 6, нужно показать, что оно делится на 6 без остатка. Для этого преобразуем полученное выражение:

$-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6 = 6 - 6n^3 + 3n^2 - 3n = 6(1 - n^3) + 3(n^2 - n) = 6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$

Рассмотрим полученную сумму $6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$:

1. Первое слагаемое, $6(1 - n^3)$, очевидно делится на 6, так как одним из его множителей является 6.

2. Второе слагаемое, $3n(n - 1)$, содержит произведение двух последовательных натуральных чисел $n(n - 1)$. В произведении двух последовательных чисел одно из них всегда четное, поэтому их произведение $n(n - 1)$ всегда делится на 2. Следовательно, все выражение $3n(n - 1)$ делится на $3 \times 2 = 6$.

Поскольку оба слагаемых в сумме $6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$ делятся на 6, то и вся сумма делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$ кратно 6 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.