Номер 1177, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1177, страница 230.

Условие.

1177. Решите уравнение:

1) $36x^2 - (3x - 27)^2 = 0;$

2) $(4x - 7)^2 - (2x + 17)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $36x^2 - (3x - 27)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой разность квадратов. Заметим, что $36x^2 = (6x)^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(6x)^2 - (3x - 27)^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 6x$ и $b = 3x - 27$.

$(6x - (3x - 27))(6x + (3x - 27)) = 0$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(6x - 3x + 27)(6x + 3x - 27) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(3x + 27)(9x - 27) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1) $3x + 27 = 0$

$3x = -27$

$x = \frac{-27}{3}$

$x_1 = -9$

2) $9x - 27 = 0$

$9x = 27$

$x = \frac{27}{9}$

$x_2 = 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -9; 3.

2) $(4x - 7)^2 - (2x + 17)^2 = 0$

Это уравнение также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4x - 7$ и $b = 2x + 17$.

$((4x - 7) - (2x + 17))((4x - 7) + (2x + 17)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения в каждом множителе:

$(4x - 7 - 2x - 17)(4x - 7 + 2x + 17) = 0$

$(2x - 24)(6x + 10) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2x - 24 = 0$

$2x = 24$

$x = \frac{24}{2}$

$x_1 = 12$

2) $6x + 10 = 0$

$6x = -10$

$x = -\frac{10}{6}$

$x_2 = -\frac{5}{3}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 12; $-\frac{5}{3}$.