Номер 1170, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1170, страница 229.

Условие.

1170. При каких значениях $a$, $b$, $c$ и $d$ выполняется равенство $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Заданное равенство: $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}$.

Здесь $\overline{xy}$ обозначает двузначное число, которое можно представить в виде $10x + y$. Переменные $a, b, c, d$ являются цифрами. Поскольку $a$ и $c$ являются первыми цифрами двузначных чисел, они не могут быть равны нулю. Таким образом, $a, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а $b, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Запишем исходное равенство, используя десятичное представление чисел:

$(10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd$

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $100ac$ и $bd$:

$10ad + 10bc = 10ab + 10cd$

Разделим обе части уравнения на 10:

$ad + bc = ab + cd$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:

$ad - ab - cd + bc = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$a(d - b) - c(d - b) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(d - b)$:

$(a - c)(d - b) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $a - c = 0$, что эквивалентно $a = c$.

2. $d - b = 0$, что эквивалентно $d = b$.

Следовательно, исходное равенство будет верным, если выполняется хотя бы одно из этих двух условий.

Ответ: Равенство выполняется при значениях цифр $a, b, c, d$, удовлетворяющих хотя бы одному из следующих условий:
1) $a = c$ (при этом $a, c$ — любые цифры от 1 до 9, а $b, d$ — любые цифры от 0 до 9).
2) $b = d$ (при этом $b, d$ — любые цифры от 0 до 9, а $a, c$ — любые цифры от 1 до 9).