Номер 1166, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1166, страница 229.

Условие.

1166. При каком значении $a$ уравнение $(x+2)(x-4) - (x-2)(x+4) = ax$ имеет бесконечно много корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть верным равенством при любом значении переменной $x$. Чтобы определить, при каком значении $a$ это условие выполняется, преобразуем левую часть уравнения.

Исходное уравнение: $(x + 2)(x - 4) - (x - 2)(x + 4) = ax$.

Раскроем скобки в левой части, перемножив двучлены:

Первое произведение: $(x + 2)(x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$.

Второе произведение: $(x - 2)(x + 4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 - 2x - 8) - (x^2 + 2x - 8) = ax$

Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым выражением:

$x^2 - 2x - 8 - x^2 - 2x + 8 = ax$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (-2x - 2x) + (-8 + 8) = ax$

$-4x = ax$

Для дальнейшего анализа перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$ax + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$(a + 4)x = 0$

Это уравнение имеет вид $kx = 0$. Оно будет иметь бесконечно много решений (то есть будет верным для любого $x$) только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю.

Следовательно, приравняем коэффициент к нулю:

$a + 4 = 0$

$a = -4$

При $a = -4$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$.

Ответ: -4.