Номер 1160, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1160, страница 229.

Условие.

1160. Какое число можно подставить вместо $b$, чтобы равенство $(3x + b)(x + 3) = 3x^2 + 5x + 9b$ было тождеством?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы данное равенство было тождеством, выражения в левой и правой частях должны быть равны при любом значении переменной $x$. Для этого раскроем скобки в левой части равенства.

Используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого), получаем:

$(3x + b)(x + 3) = 3x \cdot x + 3x \cdot 3 + b \cdot x + b \cdot 3 = 3x^2 + 9x + bx + 3b$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ в первой степени, вынеся $x$ за скобки:

$3x^2 + (9 + b)x + 3b$

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:

$3x^2 + (9 + b)x + 3b = 3x^2 + 5x + 3b$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях равенства:

• Коэффициенты при $x^2$ равны: $3 = 3$.
• Коэффициенты при $x$ должны быть равны: $9 + b = 5$.
• Свободные члены (слагаемые без $x$) равны: $3b = 3b$.

Из сравнения коэффициентов при $x$ получаем уравнение для нахождения $b$:

$9 + b = 5$

Решим это линейное уравнение. Вычтем 9 из обеих частей уравнения:

$b = 5 - 9$

$b = -4$

Следовательно, чтобы исходное равенство было тождеством, вместо $b$ нужно подставить число -4.

Ответ: -4