Номер 1161, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1161, страница 229.

Условие.

1161. Разложите на множители:

1) $\frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b;$

2) $5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2;$

3) $x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z;$

4) $a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n}$, где $n$ – натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители выражение $ \frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b $, найдем общий множитель для обоих членов.

Общий числовой множитель для дробей $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{4} $ это $ \frac{1}{4} $.
Общий множитель для переменных $ a^6 $ и $ a^2 $ это $ a^2 $ (выбираем наименьшую степень).
Таким образом, общий множитель всего выражения - $ \frac{1}{4}a^2 $.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член выражения на общий множитель:

$ \frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b = \frac{1}{4}a^2 \cdot (\frac{\frac{1}{2}a^6}{\frac{1}{4}a^2} - \frac{\frac{1}{4}a^2b}{\frac{1}{4}a^2}) = \frac{1}{4}a^2 \cdot (2a^{6-2} - b) = \frac{1}{4}a^2(2a^4 - b) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}a^2(2a^4 - b) $.

2) Разложим на множители выражение $ 5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2 $.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для каждого компонента одночленов.
Для коэффициентов 5 и 35 НОД равен 5.
Для переменных $ m^2 $ и $ m^4 $ общий множитель с наименьшей степенью - $ m^2 $.
Для $ n^3 $ и $ n^3 $ общий множитель - $ n^3 $.
Для $ k^4 $ и $ k^2 $ общий множитель с наименьшей степенью - $ k^2 $.
Следовательно, общий множитель для всего выражения равен $ 5m^2n^3k^2 $.

Вынесем его за скобки:

$ 5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2 = 5m^2n^3k^2 \cdot (\frac{5m^2n^3k^4}{5m^2n^3k^2} + \frac{35m^4n^3k^2}{5m^2n^3k^2}) = 5m^2n^3k^2(k^2 + 7m^2) $.

Ответ: $ 5m^2n^3k^2(k^2 + 7m^2) $.

3) Разложим на множители многочлен $ x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z $.

Найдем общий множитель для всех трех членов, выбрав каждую переменную в наименьшей степени, в которой она встречается в многочлене.
Для переменной $ x $ (в степенях 3, 1, 2) наименьшая степень - 1, т.е. $ x $.
Для переменной $ y $ (в степенях 2, 5, 3) наименьшая степень - 2, т.е. $ y^2 $.
Для переменной $ z $ (в степенях 5, 3, 1) наименьшая степень - 1, т.е. $ z $.
Общий множитель - $ xy^2z $.

Вынесем $ xy^2z $ за скобки:

$ x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z = xy^2z \cdot (x^{3-1}y^{2-2}z^{5-1} - 2x^{1-1}y^{5-2}z^{3-1} + 3x^{2-1}y^{3-2}z^{1-1}) $

$ = xy^2z(x^2z^4 - 2y^3z^2 + 3xy) $.

Ответ: $ xy^2z(x^2z^4 - 2y^3z^2 + 3xy) $.

4) Разложим на множители выражение $ a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n} $, где $ n $ - натуральное число.

Найдем общий множитель, сравнивая степени переменных.
Для переменной $ a $ имеем степени $ 2n $ и $ n $. Так как $ n $ натуральное, то $ 2n > n $, поэтому наименьшая степень - $ n $. Общий множитель для $ a $ - это $ a^n $.
Для переменной $ b $ имеем степени $ 3n $ и $ 4n $. Так как $ 4n > 3n $, наименьшая степень - $ 3n $. Общий множитель для $ b $ - это $ b^{3n} $.
Общий множитель всего выражения - $ a^nb^{3n} $.

Вынесем его за скобки:

$ a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n} = a^nb^{3n} \cdot (\frac{a^{2n}b^{3n}}{a^nb^{3n}} - \frac{a^nb^{4n}}{a^nb^{3n}}) = a^nb^{3n}(a^{2n-n}b^{3n-3n} - a^{n-n}b^{4n-3n}) $

$ = a^nb^{3n}(a^n - b^n) $.

Ответ: $ a^nb^{3n}(a^n - b^n) $.