Номер 1164, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1164, страница 229.

Условие.

1164. Докажите, что значение выражения:

1) $17^3 + 17^2 - 17$ кратно 61;

2) $25^4 - 125^2$ кратно 40;

3) $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно 60.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $17^3 + 17^2 - 17$ кратно 61, необходимо показать, что его можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 61. Для этого вынесем общий множитель 17 за скобки:

$17^3 + 17^2 - 17 = 17 \cdot (17^2 + 17 - 1)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$17^2 + 17 - 1 = 289 + 17 - 1 = 305$

Таким образом, исходное выражение равно $17 \cdot 305$.

Проверим, делится ли число 305 на 61:

$305 \div 61 = 5$

Так как 305 = $5 \cdot 61$, мы можем переписать наше выражение:

$17 \cdot 305 = 17 \cdot (5 \cdot 61) = (17 \cdot 5) \cdot 61 = 85 \cdot 61$

Поскольку выражение равно $85 \cdot 61$, оно кратно 61, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $25^4 - 125^2$ кратно 40, приведем степени к одному основанию — 5, так как $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.

$25^4 - 125^2 = (5^2)^4 - (5^3)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{2 \cdot 4} - 5^{3 \cdot 2} = 5^8 - 5^6$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^6$:

$5^6 \cdot (5^{8-6} - 1) = 5^6 \cdot (5^2 - 1)$

Вычислим значение в скобках:

$5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$

Выражение принимает вид $5^6 \cdot 24$. Нам нужно доказать, что оно кратно 40. Разложим 40 на множители: $40 = 5 \cdot 8$.

Теперь представим наше выражение $5^6 \cdot 24$ так, чтобы выделить множители 5 и 8.

$5^6 = 5 \cdot 5^5$

$24 = 3 \cdot 8$

Тогда:

$5^6 \cdot 24 = (5 \cdot 5^5) \cdot (3 \cdot 8) = (5 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 5^5) = 40 \cdot (3 \cdot 5^5)$

Так как выражение можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 40, оно кратно 40.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно 60, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{960}$.

Для этого представим степени $2^{962}$ и $2^{961}$ через $2^{960}$:

$2^{962} = 2^{960+2} = 2^{960} \cdot 2^2 = 2^{960} \cdot 4$

$2^{961} = 2^{960+1} = 2^{960} \cdot 2^1 = 2^{960} \cdot 2$

Подставим это в исходное выражение:

$5 \cdot (2^{960} \cdot 4) - 3 \cdot (2^{960} \cdot 2) + 1 \cdot 2^{960}$

Теперь вынесем $2^{960}$ за скобки:

$2^{960} \cdot (5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$20 - 6 + 1 = 15$

В результате получаем выражение $2^{960} \cdot 15$. Нам нужно доказать, что оно кратно 60. Разложим 60 на множители: $60 = 4 \cdot 15$.

Представим множитель $2^{960}$ в виде $2^2 \cdot 2^{958}$, что равно $4 \cdot 2^{958}$.

Тогда наше выражение можно записать так:

$(4 \cdot 2^{958}) \cdot 15 = (4 \cdot 15) \cdot 2^{958} = 60 \cdot 2^{958}$

Поскольку выражение представлено в виде произведения, где один из множителей равен 60, оно кратно 60.

Ответ: Доказано.