Номер 1167, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1167, страница 229.

Условие.

1167. При каком значении $a$ уравнение $(3x - 1)(x + a) = (3x - 2)(x + 1)$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором уравнение не имеет корней, необходимо преобразовать данное уравнение. Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Исходное уравнение:

$(3x - 1)(x + a) = (3x - 2)(x + 1)$

Раскрываем скобки в левой части:

$3x \cdot x + 3x \cdot a - 1 \cdot x - 1 \cdot a = 3x^2 + 3ax - x - a$

Сгруппируем слагаемые с x:

$3x^2 + (3a - 1)x - a$

Раскрываем скобки в правой части:

$3x \cdot x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = 3x^2 + 3x - 2x - 2$

Сгруппируем слагаемые с x:

$3x^2 + x - 2$

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$3x^2 + (3a - 1)x - a = 3x^2 + x - 2$

Сократим $3x^2$ в обеих частях, так как они взаимно уничтожаются:

$(3a - 1)x - a = x - 2$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду линейного уравнения $kx = b$. Для этого перенесем все слагаемые с переменной x в левую часть, а свободные члены — в правую:

$(3a - 1)x - x = a - 2$

Вынесем x за скобки:

$(3a - 1 - 1)x = a - 2$

$(3a - 2)x = a - 2$

Получили линейное уравнение вида $kx = b$, где коэффициент $k = 3a - 2$ и свободный член $b = a - 2$.

Линейное уравнение не имеет корней в том и только в том случае, когда коэффициент при x равен нулю ($k = 0$), а свободный член не равен нулю ($b \neq 0$).

Найдем значение a, при котором $k = 0$:

$3a - 2 = 0$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

Далее необходимо проверить, что при найденном значении a свободный член $b$ не равен нулю.

Подставим $a = \frac{2}{3}$ в выражение для $b$:

$b = a - 2 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}$

Поскольку $b = -\frac{4}{3} \neq 0$, условие выполняется. При $a = \frac{2}{3}$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -\frac{4}{3}$, что является неверным равенством для любого x. Следовательно, при данном значении a уравнение не имеет корней.

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.