Номер 1181, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1181, страница 230.

Условие.

1181. При каком значении $a$ уравнение $(a - 3)(a + 5) x = a^2 - 9$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рассмотрим данное уравнение $(a - 3)(a + 5)x = a^2 - 9$.

Это линейное уравнение относительно переменной $x$ вида $kx = b$, где коэффициент $k = (a - 3)(a + 5)$ и свободный член $b = a^2 - 9$. Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициента $k$ и свободного члена $b$.

1) имеет бесконечно много корней

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если оно представляет собой тождество $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, когда и коэффициент при $x$, и свободный член одновременно равны нулю.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} (a - 3)(a + 5) = 0 \\ a^2 - 9 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $(a - 3)(a + 5) = 0$. Корнями являются $a = 3$ и $a = -5$.

Решим второе уравнение: $a^2 - 9 = 0$. Разложив на множители, получим $(a - 3)(a + 3) = 0$. Корнями являются $a = 3$ и $a = -3$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти общее значение $a$ для обоих уравнений. Таким значением является $a = 3$.

При $a = 3$ исходное уравнение принимает вид $(3-3)(3+5)x = 3^2 - 9$, что приводит к $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: $a = 3$.

2) не имеет корней

Линейное уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Это возможно, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю.

Составим систему условий:

$\begin{cases} (a - 3)(a + 5) = 0 \\ a^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения мы знаем, что $a = 3$ или $a = -5$.

Из второго условия $a^2 - 9 \neq 0$ следует, что $a \neq 3$ и $a \neq -3$.

Теперь нужно выбрать такое значение $a$ из решений первого уравнения ($a = 3, a = -5$), которое удовлетворяет второму условию ($a \neq 3, a \neq -3$).

Значение $a = 3$ не подходит, так как оно не удовлетворяет условию $a \neq 3$.

Значение $a = -5$ подходит, так как $-5 \neq 3$ и $-5 \neq -3$.

При $a = -5$ исходное уравнение принимает вид $(-5-3)(-5+5)x = (-5)^2 - 9$, что приводит к $0 \cdot x = 16$. Это равенство неверно ни при каком значении $x$.

Ответ: $a = -5$.

3) имеет один корень

Линейное уравнение имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($k \neq 0$). В этом случае корень можно найти по формуле $x = \frac{b}{k}$.

Условие для существования единственного корня:

$(a - 3)(a + 5) \neq 0$

Это неравенство выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

$a - 3 \neq 0 \implies a \neq 3$

$a + 5 \neq 0 \implies a \neq -5$

Следовательно, уравнение имеет один корень при любых значениях $a$, кроме $3$ и $-5$.

Ответ: $a \neq 3$ и $a \neq -5$.