Номер 1188, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1188, страница 231.

Условие.

1188. Сумму какого одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена? Найдите ещё три таких одночлена.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы сумму одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно было разложить на множители по формуле квадрата двучлена, итоговое выражение должно иметь вид $x^2 \pm 2xy + y^2 = (x \pm y)^2$.

Рассмотрим несколько случаев, в зависимости от того, какой из членов исходного трёхчлена мы будем изменять, добавляя искомый одночлен.

Сумму какого одночлена и трёхчлена $4a^2 - 6ab + 9b^2$ можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена?

Предположим, что члены $4a^2$ и $9b^2$ являются квадратами двух слагаемых в итоговой формуле, то есть $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$ и $y^2 = 9b^2 = (3b)^2$.

Тогда средний член (удвоенное произведение) должен быть равен $\pm 2xy = \pm 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = \pm 12ab$.

В исходном трёхчлене средний член равен $-6ab$. Чтобы получить полный квадрат разности, средний член должен быть равен $-12ab$. Обозначим искомый одночлен через $M$. Тогда:

$-6ab + M = -12ab$

$M = -12ab + 6ab$

$M = -6ab$

Прибавив этот одночлен, получим:

$4a^2 - 6ab + 9b^2 + (-6ab) = 4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$

Ответ: $-6ab$.

Найдите ещё три таких одночлена.

1. Рассмотрим первый случай, но теперь потребуем, чтобы получился квадрат суммы. Для этого средний член должен быть равен $+12ab$.

$-6ab + M = 12ab$

$M = 12ab + 6ab$

$M = 18ab$

Проверка: $4a^2 - 6ab + 9b^2 + 18ab = 4a^2 + 12ab + 9b^2 = (2a + 3b)^2$.

2. Теперь предположим, что член $-6ab$ является удвоенным произведением, а $9b^2 = (3b)^2$ — квадратом одного из слагаемых. То есть $-2xy = -6ab$ и $y^2 = 9b^2 \implies y=3b$.

Подставим $y=3b$ в выражение для среднего члена:

$-2x(3b) = -6ab$

$-6xb = -6ab$

$x = a$

Тогда первый член итогового выражения должен быть $x^2 = a^2$. В исходном выражении на этом месте стоит $4a^2$. Значит, искомый одночлен $M$ должен изменить $4a^2$ на $a^2$:

$4a^2 + M = a^2$

$M = a^2 - 4a^2 = -3a^2$

Проверка: $4a^2 - 6ab + 9b^2 + (-3a^2) = a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.

3. Аналогично предыдущему пункту, предположим, что $-6ab$ — это удвоенное произведение, а $4a^2 = (2a)^2$ — квадрат одного из слагаемых. То есть $-2xy = -6ab$ и $x^2 = 4a^2 \implies x=2a$.

Подставим $x=2a$ в выражение для среднего члена:

$-2(2a)y = -6ab$

$-4ay = -6ab$

$y = \frac{6ab}{4a} = \frac{3}{2}b$

Тогда третий член итогового выражения должен быть $y^2 = (\frac{3}{2}b)^2 = \frac{9}{4}b^2$. В исходном выражении на этом месте стоит $9b^2$. Значит, искомый одночлен $M$ должен изменить $9b^2$ на $\frac{9}{4}b^2$:

$9b^2 + M = \frac{9}{4}b^2$

$M = \frac{9}{4}b^2 - 9b^2 = \frac{9}{4}b^2 - \frac{36}{4}b^2 = -\frac{27}{4}b^2$

Проверка: $4a^2 - 6ab + 9b^2 + (-\frac{27}{4}b^2) = 4a^2 - 6ab + \frac{9}{4}b^2 = (2a - \frac{3}{2}b)^2$.

Ответ: $18ab$, $-3a^2$, $-\frac{27}{4}b^2$.