Номер 1185, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1185, страница 231.

Условие.

1185. Существует ли такое натуральное значение $n$, при котором значение выражения $(2n - 3)(2n + 3) - (n + 3)^2$ не делилось бы нацело на 3?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы ответить на вопрос, существует ли такое натуральное значение $n$, при котором значение выражения не делится нацело на 3, необходимо сначала упростить данное выражение.

Исходное выражение: $(2n - 3)(2n + 3) - (n + 3)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первому члену выражения и формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ко второму члену.

$(2n - 3)(2n + 3) = (2n)^2 - 3^2 = 4n^2 - 9$

$(n + 3)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = n^2 + 6n + 9$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(4n^2 - 9) - (n^2 + 6n + 9)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4n^2 - 9 - n^2 - 6n - 9 = (4n^2 - n^2) - 6n + (-9 - 9) = 3n^2 - 6n - 18$

Теперь проанализируем полученное выражение $3n^2 - 6n - 18$ на делимость на 3. Для этого вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3n^2 - 6n - 18 = 3(n^2 - 2n - 6)$

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ и $2n$ также являются натуральными числами. Значит, выражение в скобках $(n^2 - 2n - 6)$ всегда будет целым числом.

Полученное выражение $3(n^2 - 2n - 6)$ представляет собой произведение числа 3 и целого числа. Любое такое произведение по определению делится нацело на 3. Это справедливо для любого натурального значения $n$.

Следовательно, не существует такого натурального значения $n$, при котором значение выражения не делилось бы нацело на 3.

Ответ: Такого натурального значения $n$ не существует.