Номер 1190, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1190, страница 231.

Условие.

1190. Разложите на множители:

1) $\frac{1}{64}a^8 - b^6;$

2) $a^3b^6c^9 + 8;$

3) $x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15};$

4) $a^6b^6 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Данное выражение представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:

$\frac{1}{64}a^8 = (\frac{1}{8}a^4)^2$

$b^6 = (b^3)^2$

Теперь исходное выражение можно записать так:

$\frac{1}{64}a^8 - b^6 = (\frac{1}{8}a^4)^2 - (b^3)^2$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(\frac{1}{8}a^4 - b^3)(\frac{1}{8}a^4 + b^3)$

Ответ: $(\frac{1}{8}a^4 - b^3)(\frac{1}{8}a^4 + b^3)$.

2) Данное выражение представляет собой сумму кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$a^3b^6c^9 = a^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^3)^3 = (ab^2c^3)^3$

$8 = 2^3$

Теперь исходное выражение можно записать так:

$a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3)^3 + 2^3$

Применяя формулу суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $ab^2c^3$, а в качестве $b$ выступает $2$, получаем:

$(ab^2c^3 + 2)((ab^2c^3)^2 - (ab^2c^3) \cdot 2 + 2^2) = (ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$

Ответ: $(ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 - 2ab^2c^3 + 4)$.

3) Данное выражение представляет собой разность кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба, разделив показатели степеней на 3:

$x^{21}y^{24} = (x^{21/3}y^{24/3})^3 = (x^7y^8)^3$

$m^{12}n^{15} = (m^{12/3}n^{15/3})^3 = (m^4n^5)^3$

Теперь исходное выражение можно записать так:

$x^{21}y^{24} - m^{12}n^{15} = (x^7y^8)^3 - (m^4n^5)^3$

Применяя формулу разности кубов, где в качестве $a$ выступает $x^7y^8$, а в качестве $b$ выступает $m^4n^5$, получаем:

$(x^7y^8 - m^4n^5)((x^7y^8)^2 + (x^7y^8)(m^4n^5) + (m^4n^5)^2) = (x^7y^8 - m^4n^5)(x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$

Ответ: $(x^7y^8 - m^4n^5)(x^{14}y^{16} + x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10})$.

4) Данное выражение представляет собой сумму кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим выражение $a^6b^6 + 1$ в виде суммы кубов. Для этого представим $a^6b^6$ как $(a^2b^2)^3$:

$a^6b^6 + 1 = (ab)^6 + 1 = ((ab)^2)^3 + 1^3 = (a^2b^2)^3 + 1^3$

Применяя формулу суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $a^2b^2$, а в качестве $b$ выступает $1$, получаем:

$(a^2b^2 + 1)((a^2b^2)^2 - a^2b^2 \cdot 1 + 1^2) = (a^2b^2 + 1)(a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$

Ответ: $(a^2b^2 + 1)(a^4b^4 - a^2b^2 + 1)$.