Номер 1197, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1197, страница 231.

Условие.

1197. Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение:

1) $a^5 - a^4 - 16a + 16$;

2) $a^{2n}b^{2n} - b^{2n} - a^{2n} + 1$, где $n$ – натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^5 - a^4 - 16a + 16$
Для разложения на множители данного выражения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$ (a^5 - a^4) - (16a - 16) $
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:
$ a^4(a - 1) - 16(a - 1) $
Теперь вынесем общий множитель $ (a - 1) $ за скобки:
$ (a - 1)(a^4 - 16) $
Выражение $ (a^4 - 16) $ является разностью квадратов, так как $ a^4 = (a^2)^2 $ и $ 16 = 4^2 $. Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:
$ (a - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 4) $
Множитель $ (a^2 - 4) $ также является разностью квадратов. Разложим и его, используя ту же формулу:
$ (a - 1)(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) $
Таким образом, исходное выражение представлено в виде произведения четырех множителей.
Ответ: $ (a - 1)(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) $

2) $a^{2n}b^{2n} - b^{2n} - a^{2n} + 1$, где $n$ — натуральное число.
Сгруппируем члены выражения:
$ (a^{2n}b^{2n} - b^{2n}) - (a^{2n} - 1) $
Вынесем общие множители из каждой группы:
$ b^{2n}(a^{2n} - 1) - 1(a^{2n} - 1) $
Вынесем общий множитель $ (a^{2n} - 1) $ за скобки:
$ (a^{2n} - 1)(b^{2n} - 1) $
Каждый из полученных множителей является разностью квадратов: $ a^{2n} - 1 = (a^n)^2 - 1^2 $ и $ b^{2n} - 1 = (b^n)^2 - 1^2 $. Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $ к каждому из них:
$ (a^n - 1)(a^n + 1)(b^n - 1)(b^n + 1) $
В результате мы представили выражение в виде произведения четырех множителей.
Ответ: $ (a^n - 1)(a^n + 1)(b^n - 1)(b^n + 1) $