Номер 1204, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1204, страница 232.

Условие.

1204. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n+2)(n+4)(n+6) + 16$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства того, что значение выражения $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ при любом натуральном $n$ является квадратом некоторого натурального числа, выполним алгебраические преобразования.

1. Сгруппируем множители, перемножив первый с четвертым и второй с третьим. Это позволит нам получить похожие выражения.

$[n(n + 6)] \cdot [(n + 2)(n + 4)] + 16$

2. Раскроем скобки в каждой из получившихся групп:

$n(n + 6) = n^2 + 6n$

$(n + 2)(n + 4) = n^2 + 4n + 2n + 8 = n^2 + 6n + 8$

3. Подставим результаты обратно в исходное выражение:

$(n^2 + 6n)(n^2 + 6n + 8) + 16$

4. Чтобы упростить выражение, введем замену. Пусть $t = n^2 + 6n$. Тогда выражение можно переписать в следующем виде:

$t(t + 8) + 16$

5. Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 8t + 16$

6. Полученный трехчлен является полным квадратом. Его можно свернуть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$t^2 + 2 \cdot t \cdot 4 + 4^2 = (t + 4)^2$

7. Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $n^2 + 6n$:

$(n^2 + 6n + 4)^2$

Таким образом, мы показали, что исходное выражение равно $(n^2 + 6n + 4)^2$.

8. Теперь необходимо убедиться, что число $n^2 + 6n + 4$ является натуральным. По условию задачи, $n$ — любое натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n^2$ — натуральное число, $6n$ — натуральное число, и 4 — натуральное число. Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом. Следовательно, выражение $n^2 + 6n + 4$ при любом натуральном $n$ принимает натуральные значения.

Это доказывает, что исходное выражение всегда равно квадрату некоторого натурального числа.

Ответ: Исходное выражение тождественно равно $(n^2 + 6n + 4)^2$. Так как $n$ по условию является натуральным числом, то и значение $n^2 + 6n + 4$ также является натуральным числом. Таким образом, при любом натуральном $n$ значение выражения является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.