Номер 1199, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1199, страница 231.

Условие.

1199. Докажите, что значение выражения $17^{10} - 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9$ делится нацело:

1) на 18;

2) на 36.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$17^{10} - 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9 = (17^{10} + 17^9) + (3 \cdot 7^{25} - 3 \cdot 7^{24})$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Для первой группы:

$(17^{10} + 17^9) = 17^9 \cdot (17^1 + 1) = 17^9 \cdot 18$

Для второй группы:

$(3 \cdot 7^{25} - 3 \cdot 7^{24}) = 3 \cdot (7^{25} - 7^{24}) = 3 \cdot 7^{24} \cdot (7^1 - 1) = 3 \cdot 7^{24} \cdot 6 = 18 \cdot 7^{24}$

Подставим полученные выражения обратно в сумму:

$17^9 \cdot 18 + 18 \cdot 7^{24}$

Вынесем общий множитель 18 за скобки:

$18 \cdot (17^9 + 7^{24})$

Теперь мы можем перейти к доказательству делимости.

1) на 18

Из преобразованного выражения $18 \cdot (17^9 + 7^{24})$ видно, что одним из множителей является число 18. Поскольку $17^9$ и $7^{24}$ — это целые числа, то их сумма $(17^9 + 7^{24})$ также является целым числом. Следовательно, всё выражение представляет собой произведение числа 18 на целое число, а значит, оно делится на 18 нацело.

Ответ: Доказано.

2) на 36

Чтобы доказать, что выражение $18 \cdot (17^9 + 7^{24})$ делится на 36, необходимо показать, что оно делится на $18 \cdot 2$. Это означает, что множитель $(17^9 + 7^{24})$ должен быть четным числом, то есть делиться на 2.

Определим четность каждого слагаемого в скобках:

• Число 17 — нечетное. Любая натуральная степень нечетного числа есть число нечетное. Значит, $17^9$ — нечетное число.
• Число 7 — нечетное. Любая натуральная степень нечетного числа есть число нечетное. Значит, $7^{24}$ — нечетное число.

Сумма двух нечетных чисел ($17^9 + 7^{24}$) является четным числом. Это означает, что сумму $(17^9 + 7^{24})$ можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число.

Тогда исходное выражение можно записать так:

$18 \cdot (17^9 + 7^{24}) = 18 \cdot (2k) = 36k$

Так как выражение равно $36k$, где $k$ — целое число, оно делится на 36 нацело.

Ответ: Доказано.