Номер 1205, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1205, страница 232.

Условие.

1205. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — натуральное число, не кратное 3. Мы хотим доказать, что выражение $n^2 - 1$ кратно 3.

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы разложить данное выражение на множители:
$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$. Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно и только одно обязательно делится на 3.

По условию задачи, число $n$ не кратно 3. Это означает, что остаток от деления $n$ на 3 не равен нулю.

Поскольку $n$ не делится на 3, то одно из двух соседних с ним чисел, $(n - 1)$ или $(n + 1)$, должно делиться на 3.

Так как один из множителей в произведении $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3, то и всё произведение делится на 3.
Следовательно, $n^2 - 1$ кратно 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.