Номер 1200, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1200, страница 232.

Условие.

1200. Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ – произвольное натуральное число. Нам нужно доказать, что разность $n^3 - n$ делится нацело на 6.

Для начала преобразуем данное выражение. Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Расположив множители в порядке возрастания, получим произведение трех последовательных натуральных чисел:

$(n-1)n(n+1)$

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, и числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

1. Докажем делимость на 2. Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ есть как минимум одна пара последовательных чисел (например, $n-1$ и $n$), поэтому один из множителей гарантированно делится на 2. Следовательно, всё произведение делится на 2.

2. Докажем делимость на 3. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Наши множители $(n-1), n, (n+1)$ как раз и являются тремя последовательными числами. Значит, один из них обязательно кратен 3, и, следовательно, всё произведение делится на 3.

Поскольку выражение $n^3 - n$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Что и требовалось доказать.