Номер 1198, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1198, страница 231.

Условие.

1198. Найдите значение выражения:

1) $1,87^2 - 1,13^2 + 6 \cdot 1,13;$

2) $1,628^3 - 1,2 \cdot 1,628 \cdot 1,228 - 1,228^3;$

3) $0,79^3 + 3 \cdot 0,79 \cdot 0,21 - 0,21^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $1,87^2 - 1,13^2 + 6 \cdot 1,13$

Преобразуем выражение, вынеся минус за скобки у последних двух слагаемых:

$1,87^2 - (1,13^2 - 6 \cdot 1,13)$

Заметим, что выражение в скобках является частью формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Представим $6 \cdot 1,13$ как $2 \cdot 1,13 \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $3^2$ внутри скобок:

$1,87^2 - (1,13^2 - 2 \cdot 1,13 \cdot 3 + 3^2 - 3^2)$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$1,87^2 - ((1,13 - 3)^2 - 3^2)$

Выполним вычисления внутри скобок:

$1,13 - 3 = -1,87$

$3^2 = 9$

Подставим эти значения обратно в выражение:

$1,87^2 - ((-1,87)^2 - 9)$

Так как $(-1,87)^2 = 1,87^2$, получаем:

$1,87^2 - (1,87^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$1,87^2 - 1,87^2 + 9 = 9$

Ответ: 9

2) $1,628^3 - 1,2 \cdot 1,628 \cdot 1,228 - 1,228^3$

Обозначим $a = 1,628$ и $b = 1,228$. Выражение примет вид:

$a^3 - 1,2ab - b^3$

Найдем разность $a - b$:

$a - b = 1,628 - 1,228 = 0,4$

Заметим, что коэффициент $1,2$ в среднем члене можно представить как $3 \cdot 0,4$. Таким образом, $1,2 = 3(a-b)$.

Подставим это в наше выражение:

$a^3 - 3(a-b)ab - b^3$

Перегруппируем слагаемые и раскроем скобки:

$a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$

Это выражение является развернутой формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Следовательно, значение исходного выражения равно $(a-b)^3$:

$(1,628 - 1,228)^3 = (0,4)^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$

Ответ: 0,064

3) $0,79^3 + 3 \cdot 0,79 \cdot 0,21 - 0,21^3$

Обозначим $a = 0,79$ и $b = 0,21$. Выражение примет вид:

$a^3 - b^3 + 3ab$

Найдем сумму $a+b$:

$a + b = 0,79 + 0,21 = 1$

Из этого соотношения можно выразить $a$ через $b$: $a = 1-b$. Подставим это выражение в нашу формулу, чтобы упростить ее:

$(1-b)^3 - b^3 + 3(1-b)b$

Раскроем куб разности по формуле $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и раскроем остальные скобки:

$(1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot b^2 - b^3) - b^3 + 3b - 3b^2$

$(1 - 3b + 3b^2 - b^3) - b^3 + 3b - 3b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + (-3b + 3b) + (3b^2 - 3b^2) + (-b^3 - b^3) = 1 + 0 + 0 - 2b^3 = 1 - 2b^3$

Теперь подставим значение $b=0,21$ в полученное упрощенное выражение:

$1 - 2 \cdot (0,21)^3$

Вычислим $(0,21)^3$:

$(0,21)^3 = 0,21 \cdot 0,21 \cdot 0,21 = 0,0441 \cdot 0,21 = 0,009261$

Подставим результат обратно:

$1 - 2 \cdot 0,009261 = 1 - 0,018522 = 0,981478$

Ответ: 0,981478