Номер 1196, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1196, страница 231.

Условие.

1196.Из следующих четырёх выражений только три можно разложить на множители. Найдите эти выражения и разложите их на множители:

1) $9mx - 6nx + 6my - 4ny;$

2) $36x^2 - 24x + 4 - y^2;$

3) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5;$

4) $4a + 3 + a^2 + 2b - b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $9mx - 6nx + 6my - 4ny$

Для разложения на множители данного выражения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(9mx - 6nx) + (6my - 4ny)$

Вынесем общие множители из каждой группы: из первой $3x$, из второй $2y$.

$3x(3m - 2n) + 2y(3m - 2n)$

Теперь вынесем общий биномиальный множитель $(3m - 2n)$ за скобки:

$(3m - 2n)(3x + 2y)$

Ответ: $(3m - 2n)(3x + 2y)$.

2) $36x^2 - 24x + 4 - y^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой формулу полного квадрата разности:

$(36x^2 - 24x + 4) - y^2$

Свернём выражение в скобках по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=6x$ и $b=2$:

$(6x - 2)^2 - y^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((6x - 2) - y)((6x - 2) + y) = (6x - y - 2)(6x + y - 2)$

Ответ: $(6x - y - 2)(6x + y - 2)$.

4) $4a + 3 + a^2 + 2b - b^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты для переменных $a$ и $b$:

$(a^2 + 4a) - (b^2 - 2b) + 3$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого добавим и вычтем $4$ для первого выражения и добавим и вычтем $1$ для второго:

$(a^2 + 4a + 4) - 4 - (b^2 - 2b + 1) + 1 + 3$

Свернём полные квадраты и упростим числовое выражение:

$(a + 2)^2 - (b - 1)^2 - 4 + 1 + 3 = (a + 2)^2 - (b - 1)^2$

Мы получили разность квадратов. Применим соответствующую формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a+2$ и $B = b-1$:

$((a + 2) - (b - 1))((a + 2) + (b - 1)) = (a - b + 2 + 1)(a + b + 2 - 1) = (a - b + 3)(a + b + 1)$

Ответ: $(a - b + 3)(a + b + 1)$.