Номер 1189, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1189, страница 231.

Условие.

1189. Докажите, что не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - 8x + 18 = 0$;

2) $x^2 + x + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства того, что уравнение $x^2 - 8x + 18 = 0$ не имеет корней, можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Вычисление дискриминанта.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-8$, $c=18$. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Подставим значения коэффициентов: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Способ 2: Выделение полного квадрата.
Преобразуем левую часть уравнения: $x^2 - 8x + 18 = (x^2 - 8x + 16) + 2 = (x-4)^2 + 2$.
Уравнение принимает вид $(x-4)^2 + 2 = 0$, или $(x-4)^2 = -2$.
Квадрат любого действительного числа $(x-4)^2$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$), поэтому он не может быть равен отрицательному числу $-2$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, что и требовалось доказать.

2) Для доказательства того, что уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет корней, также можно использовать два способа.

Способ 1: Вычисление дискриминанта.
Для этого квадратного уравнения коэффициенты равны $a=1$, $b=1$, $c=1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Способ 2: Выделение полного квадрата.
Преобразуем левую часть уравнения: $x^2 + x + 1 = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Уравнение можно записать как $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = 0$.
Выражение $(x + \frac{1}{2})^2$ неотрицательно для любого действительного $x$. Тогда наименьшее значение левой части уравнения равно $\frac{3}{4}$ (при $x = -\frac{1}{2}$). Поскольку левая часть уравнения всегда строго положительна, она никогда не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, что и требовалось доказать.