Номер 1184, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1184, страница 230.

Условие.

1184. Докажите, что не существует натурального значения n, при котором значение выражения $(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2$ делилось бы нацело на 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не делится на 5 ни при каком натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2 = (8n \cdot 2n + 8n \cdot 1 + 5 \cdot 2n + 5 \cdot 1) - ((4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 1 + 1^2)$

$= (16n^2 + 8n + 10n + 5) - (16n^2 + 8n + 1)$

$= 16n^2 + 18n + 5 - 16n^2 - 8n - 1$

Сгруппируем и упростим подобные члены:

$(16n^2 - 16n^2) + (18n - 8n) + (5 - 1) = 0 + 10n + 4 = 10n + 4$

Теперь проанализируем полученное выражение $10n + 4$ на предмет делимости на 5.

Слагаемое $10n$ содержит множитель 10, который делится на 5 ($10 = 5 \cdot 2$). Следовательно, произведение $10n$ делится на 5 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Слагаемое 4 при делении на 5 даёт в остатке 4.

Таким образом, вся сумма $10n + 4$ при делении на 5 будет всегда давать в остатке 4. Поскольку для делимости нацело остаток должен быть равен 0, а в нашем случае он всегда равен 4, то значение выражения не делится на 5 ни при каком натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение тождественно равно $10n + 4$. Это выражение при делении на 5 всегда даёт в остатке 4, следовательно, оно не может делиться на 5 нацело ни при одном натуральном $n$.