Номер 1178, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1178, страница 230.

Условие.

1178. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

1) $(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 7;

2) $(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2$ делится нацело на 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 7 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 4n + 19$ и $b = 3n - 5$:

$(4n + 19)^2 - (3n - 5)^2 = ((4n + 19) - (3n - 5))((4n + 19) + (3n - 5))$

Раскроем скобки в каждом из множителей:

Первый множитель: $(4n + 19 - 3n + 5) = (n + 24)$

Второй множитель: $(4n + 19 + 3n - 5) = (7n + 14)$

Получаем произведение: $(n + 24)(7n + 14)$.

Вынесем общий множитель 7 из второй скобки:

$(n + 24) \cdot 7(n + 2) = 7(n + 24)(n + 2)$

Поскольку один из множителей в полученном выражении равен 7, то всё произведение делится нацело на 7 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что значение выражения $(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2$ делится нацело на 16 при любом натуральном значении $n$, также воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 2n + 5$ и $b = 2n - 3$:

$(2n + 5)^2 - (2n - 3)^2 = ((2n + 5) - (2n - 3))((2n + 5) + (2n - 3))$

Раскроем скобки в каждом из множителей:

Первый множитель: $(2n + 5 - 2n + 3) = 8$

Второй множитель: $(2n + 5 + 2n - 3) = (4n + 2)$

Получаем произведение: $8(4n + 2)$.

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$8 \cdot 2(2n + 1) = 16(2n + 1)$

Поскольку один из множителей в полученном выражении равен 16, то всё произведение делится нацело на 16 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Доказано.