Номер 1187, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1187, страница 231.

Условие.

1187. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $$(a+4)^2 - 2(a+4) + 1;$$

2) $$(3b+2)^2 + 4(3b+2) + 4;$$

3) $$(3y+8)^2 + (4y+6)^2 + 4y;$$

4) $$(x-5y)^2 + (x+12y)^2 - x(x-12y).$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить выражение $(a + 4)^2 - 2(a + 4) + 1$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении можно сделать замену: пусть $x = a + 4$ и $y = 1$. Тогда выражение примет вид:
$x^2 - 2x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$.
Теперь выполним обратную замену:
$((a + 4) - 1)^2 = (a + 4 - 1)^2 = (a + 3)^2$.
Ответ: $(a + 3)^2$.

2) Чтобы представить выражение $(3b + 2)^2 + 4(3b + 2) + 4$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Заметим, что $4 = 2^2$ и $4(3b + 2) = 2 \cdot (3b + 2) \cdot 2$.
Сделаем замену: пусть $x = 3b + 2$ и $y = 2$. Тогда выражение примет вид:
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Выполним обратную замену:
$((3b + 2) + 2)^2 = (3b + 2 + 2)^2 = (3b + 4)^2$.
Ответ: $(3b + 4)^2$.

3) Чтобы представить выражение $(3y + 8)^2 + (4y + 6)^2 + 4y$ в виде квадрата двучлена, сначала раскроем скобки и упростим его.
$(3y + 8)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 8 + 8^2 = 9y^2 + 48y + 64$.
$(4y + 6)^2 = (4y)^2 + 2 \cdot 4y \cdot 6 + 6^2 = 16y^2 + 48y + 36$.
Теперь сложим все компоненты и приведем подобные слагаемые:
$(9y^2 + 48y + 64) + (16y^2 + 48y + 36) + 4y = (9y^2 + 16y^2) + (48y + 48y + 4y) + (64 + 36) = 25y^2 + 100y + 100$.
Теперь представим полученный трехчлен в виде квадрата двучлена, используя формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$25y^2 + 100y + 100 = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot 10 + 10^2 = (5y + 10)^2$.
Ответ: $(5y + 10)^2$.

4) Чтобы представить выражение $(x - 5y)^2 + (x + 12y)^2 - x(x - 12y)$ в виде квадрата двучлена, сначала раскроем скобки и упростим его.
$(x - 5y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5y + (5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$.
$(x + 12y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 12y + (12y)^2 = x^2 + 24xy + 144y^2$.
$-x(x - 12y) = -x^2 + 12xy$.
Сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 10xy + 25y^2) + (x^2 + 24xy + 144y^2) - x^2 + 12xy = (x^2 + x^2 - x^2) + (-10xy + 24xy + 12xy) + (25y^2 + 144y^2) = x^2 + 26xy + 169y^2$.
Представим полученный трехчлен в виде квадрата двучлена, используя формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 26xy + 169y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (13y) + (13y)^2 = (x + 13y)^2$.
Ответ: $(x + 13y)^2$.