Номер 1194, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1194, страница 231.

Условие.

1194. Делится ли значение выражения $654^3 - 554^3$ нацело на 200?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1193. Чтобы проверить, делится ли значение выражения $57^3 + 23^3$ на 80, используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 57$ и $b = 23$:
$57^3 + 23^3 = (57 + 23)(57^2 - 57 \cdot 23 + 23^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$57 + 23 = 80$.
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде произведения:
$80 \cdot (57^2 - 57 \cdot 23 + 23^2)$.
Поскольку один из множителей равен 80, а второй множитель $(57^2 - 57 \cdot 23 + 23^2)$ является целым числом, то все произведение делится нацело на 80.
Ответ: да, делится.

1194. Чтобы проверить, делится ли значение выражения $654^3 - 554^3$ на 200, используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 654$ и $b = 554$:
$654^3 - 554^3 = (654 - 554)(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$654 - 554 = 100$.
Теперь выражение имеет вид:
$100 \cdot (654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$.
Чтобы это выражение было кратно 200, необходимо, чтобы второй множитель, то есть скобка $(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$, делился на 2 (так как $200 = 100 \cdot 2$).
Проверим четность второго множителя. Он состоит из суммы трех слагаемых:
1. $654^2$: квадрат четного числа является четным числом.
2. $654 \cdot 554$: произведение двух четных чисел является четным числом.
3. $554^2$: квадрат четного числа является четным числом.
Сумма трех четных чисел ($(четное) + (четное) + (четное)$) всегда является четным числом. Следовательно, второй множитель делится на 2.
Таким образом, все выражение можно представить в виде $100 \cdot 2k = 200k$, где $k$ — целое число. Это доказывает, что выражение $654^3 - 554^3$ делится нацело на 200.
Ответ: да, делится.