Номер 1201, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1201, страница 232.

Условие.

1201. Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, $n > 1$. В этой последовательности число $n$ является средним.

Согласно условию задачи, нам необходимо доказать, что сумма произведения этих трёх чисел и их среднего числа равна кубу среднего числа. Составим математическое выражение, которое нужно доказать:

$(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n = n^3$

Рассмотрим и преобразуем левую часть этого равенства.

1. Найдём произведение трёх последовательных чисел. Для удобства вычислений перемножим сначала первый и третий множители, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

2. Теперь умножим полученный результат на среднее число $n$:

$n \cdot (n^2 - 1) = n \cdot n^2 - n \cdot 1 = n^3 - n$

3. К полученному произведению $n^3 - n$ прибавим среднее число $n$:

$(n^3 - n) + n = n^3 - n + n = n^3$

В результате преобразования левой части равенства мы получили $n^3$. Правая часть равенства также равна $n^3$. Таким образом, мы получили тождество:

$n^3 = n^3$

Это доказывает, что исходное утверждение верно для любых трёх последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано.