Номер 1206, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1206, страница 232.

Условие.

1206. Докажите, что при любом натуральном значении $n$, не кратном $5$, значение выражения $n^4 - 1$ делится нацело на $5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Требуется доказать, что при любом натуральном значении $n$, не кратном 5, значение выражения $n^4 - 1$ делится нацело на 5.

Для доказательства преобразуем данное выражение, разложив его на множители. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Представим $n^4 - 1$ как разность квадратов:

$n^4 - 1 = (n^2)^2 - 1^2 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$

2. Разложим первый множитель $(n^2 - 1)$ по той же формуле:

$(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$

3. Теперь выполним преобразование, чтобы в дальнейшем выделить произведение последовательных чисел. Представим множитель $(n^2 + 1)$ в виде $(n^2 - 4 + 5)$. Это не изменит его значения.

$(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5)$

4. Раскроем скобки, умножив $(n - 1)(n + 1)$ на $(n^2 - 4)$ и на 5:

$(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4) + 5(n - 1)(n + 1)$

5. Разложим множитель $(n^2 - 4)$ на множители и перепишем выражение:

$(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5(n^2 - 1)$

6. Перегруппируем множители в первом слагаемом для наглядности:

$n^4 - 1 = (n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2) + 5(n^2 - 1)$

Теперь проанализируем полученную сумму. Она состоит из двух слагаемых:

• Первое слагаемое: $(n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2)$. Рассмотрим произведение пяти последовательных чисел: $(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)$. Оно всегда делится на 5, так как в любой последовательности из пяти целых чисел одно из них кратно 5. По условию задачи, $n$ на 5 не делится. Значит, на 5 должно делиться одно из четырёх оставшихся чисел: $(n - 2)$, $(n - 1)$, $(n + 1)$ или $(n + 2)$. Следовательно, их произведение делится на 5.
• Второе слагаемое: $5(n^2 - 1)$. Это слагаемое очевидно делится на 5, так как содержит множитель 5.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма также делится на 5. Таким образом, мы доказали, что выражение $n^4 - 1$ всегда делится на 5, если $n$ не кратно 5.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого натурального $n$, не кратного 5, выражение $n^4 - 1$ делится нацело на 5.