Номер 1208, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1208, страница 232.

Условие.

1208. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения $n^7 - n$ кратно 42.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что выражение $n^7 - n$ кратно 42 при любом натуральном значении $n$, необходимо показать, что оно делится на взаимно простые множители, из которых состоит число 42. Разложим 42 на простые множители: $42 = 2 \times 3 \times 7$. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $n^7 - n$ делится на 2, 3 и 7.

Сначала преобразуем данное выражение, разложив его на множители:$n^7 - n = n(n^6 - 1) = n(n^3 - 1)(n^3 + 1)$$n^7 - n = n(n-1)(n^2 + n + 1)(n+1)(n^2 - n + 1)$Сгруппировав множители, получаем:$n^7 - n = (n-1)n(n+1)(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)$

Докажем делимость на 2 и 3. В разложении присутствует произведение трёх последовательных целых чисел $(n-1)n(n+1)$. Среди любых трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3, и как минимум одно делится на 2. Поскольку 2 и 3 взаимно просты, их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на $2 \times 3 = 6$. Следовательно, и всё выражение $n^7 - n$ делится на 6, а значит, делится на 2 и на 3.

Докажем делимость на 7. Здесь удобно воспользоваться Малой теоремой Ферма, которая гласит, что для любого целого числа $a$ и простого числа $p$ справедливо, что $a^p - a$ делится на $p$. В нашем случае $a = n$ и $p = 7$. Таким образом, согласно теореме, выражение $n^7 - n$ всегда делится на 7 при любом натуральном $n$.

Итак, мы установили, что выражение $n^7 - n$ делится на 2, на 3 и на 7. Поскольку числа 2, 3 и 7 являются взаимно простыми, то выражение $n^7 - n$ должно делиться и на их произведение, то есть на $2 \times 3 \times 7 = 42$.

Таким образом, доказано, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n^7 - n$ кратно 42.

Ответ: Доказано.