Номер 1214, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1214, страница 233.

Условие.

1214. Является ли линейной функция:

1) $f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3)$

2) $f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 2)$

3) $f(x) = (x + 3)^2 - x(x + 6)$

В случае утвердительного ответа постройте её график.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3)$

Чтобы определить, является ли функция линейной, необходимо привести ее к виду $y = kx + b$. Для этого упростим данное выражение.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первого произведения и распределительный закон для второго:

$f(x) = (x^2 - 1^2) - (x^2 - 3x) = x^2 - 1 - x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x) = (x^2 - x^2) + 3x - 1 = 3x - 1$

Функция приведена к виду $f(x) = 3x - 1$. Это линейная функция, где угловой коэффициент $k = 3$, а свободный член $b = -1$.

Так как ответ утвердительный, построим график функции $y = 3x - 1$. Графиком является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.

Найдем координаты двух точек:

Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0; -1)$.

Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. Получаем точку $(2; 5)$.

Проведем через точки $(0; -1)$ и $(2; 5)$ прямую. Это и будет график данной функции.

Ответ: Да, функция является линейной.

2) $f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 2)$

Упростим выражение, чтобы проверить, можно ли его привести к виду $y = kx + b$.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов:

$f(x) = ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) - (x^2 - 2x + 4x - 8)$

$f(x) = (4x^2 - 12x + 9) - (x^2 + 2x - 8)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = 4x^2 - 12x + 9 - x^2 - 2x + 8 = (4x^2 - x^2) + (-12x - 2x) + (9 + 8)$

$f(x) = 3x^2 - 14x + 17$

Данное выражение содержит $x$ во второй степени ($3x^2$), поэтому его нельзя привести к виду $y = kx + b$. Это квадратичная функция, а не линейная.

Ответ: Нет, функция не является линейной.

3) $f(x) = (x + 3)^2 - x(x + 6)$

Упростим данное выражение, чтобы проверить, является ли функция линейной.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределительный закон:

$f(x) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (x^2 + 6x)$

$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - x^2 - 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x) = (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + 9 = 9$

Функция приведена к виду $f(x) = 9$. Это частный случай линейной функции $y = kx + b$, где $k=0$ и $b=9$. Следовательно, функция является линейной.

Построим график функции $y = 9$. Это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; 9)$ на оси ординат. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда будет равно 9.

Ответ: Да, функция является линейной.