Номер 1218, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1218, страница 233.

Условие.

1218. Постройте график функции:

1) $y=|x|-3$

2) $y=|x-3|$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим базовый график функции $y = |x|$. Этот график представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика ("угол") находится в точке $(0, 0)$.

2. Далее, чтобы получить график функции $y = |x| - 3$, нужно сдвинуть (параллельно перенести) график $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Таким образом, вершина нового графика будет находиться в точке $(0, -3)$.

Найдем точки пересечения с осями координат. Для пересечения с осью $Oy$ подставим $x = 0$, получим $y = |0| - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$. Для пересечения с осью $Ox$ подставим $y = 0$, получим $0 = |x| - 3$, откуда $|x| = 3$. Это дает два решения: $x = 3$ и $x = -3$. Точки пересечения — $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Функция может быть записана как кусочно-линейная: $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x - 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, -3)$.

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз. Это V-образный график ("галочка") с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которого направлены вверх и пересекают ось $Ox$ в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2) $y = |x - 3|$

Для построения графика функции $y = |x - 3|$ также воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим базовый график функции $y = |x|$, который имеет вершину в точке $(0, 0)$.

2. Чтобы получить график функции $y = |x - 3|$, нужно сдвинуть (параллельно перенести) график $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Таким образом, вершина нового графика будет находиться в точке $(3, 0)$.

Найдем точки пересечения с осями координат. Для пересечения с осью $Oy$ подставим $x = 0$, получим $y = |0 - 3| = |-3| = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$. Для пересечения с осью $Ox$ подставим $y = 0$, получим $0 = |x - 3|$, откуда $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Точка пересечения — $(3, 0)$, что совпадает с вершиной.

Функция может быть записана как кусочно-линейная: $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x - 3 \ge 0 \text{ (т.е. } x \ge 3) \\ -(x - 3), & \text{если } x - 3 < 0 \text{ (т.е. } x < 3) \end{cases}$, что равносильно $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \ge 3 \\ -x + 3, & \text{если } x < 3 \end{cases}$. График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(3, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x - 3|$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вправо. Это V-образный график ("галочка") с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которого направлены вверх. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 3)$.