Номер 1223, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1223, страница 233.

Условие.

1223. При каком значении $a$ сумма $x + y$ принимает наименьшее значение, если:

$\begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 - 12a + 8, \\ 3x - 2y = 3a^2 + 8a + 12? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для нахождения значения a, при котором сумма x + y принимает наименьшее значение, необходимо сначала решить данную систему уравнений относительно x и y, выразив их через параметр a.

Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 - 12a + 8 \\ 3x - 2y = 3a^2 + 8a + 12 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2(2a^2 - 12a + 8) \\ 3(3x - 2y) = 3(3a^2 + 8a + 12) \end{cases}$

$ \begin{cases} 4x + 6y = 4a^2 - 24a + 16 \\ 9x - 6y = 9a^2 + 24a + 36 \end{cases}$

Теперь сложим эти два уравнения почленно:

$(4x + 9x) + (6y - 6y) = (4a^2 + 9a^2) + (-24a + 24a) + (16 + 36)$

$13x = 13a^2 + 52$

Разделим обе части уравнения на 13:

$x = a^2 + 4$

Теперь найдем y. Подставим найденное выражение для x в одно из исходных уравнений, например, в первое. Однако, проще снова применить метод сложения. Умножим первое уравнение исходной системы на 3, а второе на -2, чтобы избавиться от x:

$ \begin{cases} 3(2x + 3y) = 3(2a^2 - 12a + 8) \\ -2(3x - 2y) = -2(3a^2 + 8a + 12) \end{cases}$

$ \begin{cases} 6x + 9y = 6a^2 - 36a + 24 \\ -6x + 4y = -6a^2 - 16a - 24 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(6x - 6x) + (9y + 4y) = (6a^2 - 6a^2) + (-36a - 16a) + (24 - 24)$

$13y = -52a$

Разделим обе части уравнения на 13:

$y = -4a$

Мы нашли выражения для x и y через a. Теперь найдем их сумму, обозначив ее как $S(a)$:

$S(a) = x + y = (a^2 + 4) + (-4a) = a^2 - 4a + 4$

Выражение $S(a) = a^2 - 4a + 4$ представляет собой квадратичную функцию от a. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $a^2$ (равный 1) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату вершины параболы $a_0$ для функции вида $S(a) = Aa^2 + Ba + C$ можно найти по формуле $a_0 = -B / (2A)$.

В нашем случае $A = 1$, $B = -4$, $C = 4$.

$a_0 = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$

Альтернативно, можно выделить полный квадрат:

$S(a) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, т.е. $(a - 2)^2 \ge 0$, наименьшее значение функции $S(a)$ равно 0 и достигается при условии $a - 2 = 0$, то есть при $a = 2$.

Следовательно, сумма $x + y$ принимает наименьшее значение при $a = 2$.

Ответ: 2