Номер 1224, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1224, страница 234.

Условие.

1224.При каком значении $a$ разность $x - y$ принимает наименьшее значение, если:

$\begin{cases} x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\ 4x + y = 4a^2 - 2a + 4? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти, при каком значении $a$ разность $x-y$ принимает наименьшее значение, необходимо сначала решить данную систему уравнений относительно $x$ и $y$, выразив их через параметр $a$.

Дана система:

$\begin{cases} x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\ 4x + y = 4a^2 - 2a + 4. \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = 4a^2 - 2a + 4 - 4x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x - 5(4a^2 - 2a + 4 - 4x) = a^2 + 10a + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x - 20a^2 + 10a - 20 + 20x = a^2 + 10a + 1$

$21x - 20a^2 + 10a - 20 = a^2 + 10a + 1$

Перенесем все члены, не содержащие $x$, в правую часть уравнения:

$21x = a^2 + 10a + 1 + 20a^2 - 10a + 20$

$21x = 21a^2 + 21$

Разделим обе части на 21:

$x = a^2 + 1$

Теперь, зная $x$, найдем $y$, подставив выражение для $x$ в формулу для $y$, которую мы вывели ранее:

$y = 4a^2 - 2a + 4 - 4(a^2 + 1)$

$y = 4a^2 - 2a + 4 - 4a^2 - 4$

$y = -2a$

Мы нашли выражения для $x$ и $y$ через $a$. Теперь составим выражение для разности $x - y$:

$x - y = (a^2 + 1) - (-2a) = a^2 + 1 + 2a$

Итак, нам нужно найти, при каком значении $a$ выражение $a^2 + 2a + 1$ принимает наименьшее значение. Это выражение является квадратичной функцией от $a$, и его можно представить в виде полного квадрата:

$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a + 1)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0. Оно достигается тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$a + 1 = 0$

$a = -1$

Следовательно, разность $x - y$ принимает наименьшее значение при $a = -1$.

Ответ: $-1$.