Номер 1225, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1225, страница 234.

Условие.

1225. По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости двух тел в м/с. Длина окружности $L = 100$ м.

Когда тела движутся в одном направлении, они встречаются каждые $t_1 = 20$ с. Это означает, что за 20 секунд более быстрое тело проходит расстояние, на 100 м превышающее расстояние, пройденное более медленным телом. Относительная скорость тел при движении в одном направлении равна разности их скоростей. Предположим, что $v_1 > v_2$, тогда относительная скорость равна $v_1 - v_2$. Получаем первое уравнение, связывающее расстояние, относительную скорость и время:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_1$

Подставляем известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Отсюда выражаем разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$

Когда тела движутся в противоположных направлениях, они встречаются каждые $t_2 = 4$ с. В этом случае за 4 секунды сумма расстояний, пройденных обоими телами, равна длине окружности. Относительная скорость (скорость сближения) тел при движении в противоположных направлениях равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. Получаем второе уравнение:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_2$

Подставляем известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Отсюда выражаем сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 - v_2 = 5 \\ v_1 + v_2 = 25 \end{cases}$

Для решения системы сложим оба уравнения:

$(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 5 + 25$

$2v_1 = 30$

$v_1 = \frac{30}{2} = 15$ м/с.

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15 = 10$ м/с.

Таким образом, скорости тел равны 15 м/с и 10 м/с.

Ответ: 15 м/с и 10 м/с.