Номер 1222, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1222, страница 233.

Условие.

1222. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 7y = 1, \\ 6y - 5x = 16; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5y = 19, \\ 2x + 3y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3(2a - 1) + 6(7 - b) = 51, \\ 2(a + 6) - 7(1 + 6b) = 49; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{3x - 2y}{4} - \frac{4x + 5}{3} = -5, \\ \frac{6x - 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ 6y - 5x = 16 \end{cases}$

Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые:

$\begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ -5x + 6y = 16 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 5(3x + 7y) = 5 \cdot 1 \\ 3(-5x + 6y) = 3 \cdot 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 15x + 35y = 5 \\ -15x + 18y = 48 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(15x + 35y) + (-15x + 18y) = 5 + 48$

$53y = 53$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$3x + 7(1) = 1$

$3x + 7 = 1$

$3x = 1 - 7$

$3x = -6$

$x = -2$

Проверим решение $(-2; 1)$, подставив его во второе уравнение: $6(1) - 5(-2) = 6 + 10 = 16$. Верно.

Ответ: $x = -2, y = 1$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 5y = 19 \\ 2x + 3y = 0 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы избавиться от переменной $x$:

$\begin{cases} 2(3x - 5y) = 2 \cdot 19 \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x - 10y = 38 \\ -6x - 9y = 0 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(6x - 10y) + (-6x - 9y) = 38 + 0$

$-19y = 38$

$y = -2$

Подставим значение $y$ во второе исходное уравнение:

$2x + 3(-2) = 0$

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим решение $(3; -2)$, подставив его в первое уравнение: $3(3) - 5(-2) = 9 + 10 = 19$. Верно.

Ответ: $x = 3, y = -2$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3(2a - 1) + 6(7 - b) = 51 \\ 2(a + 6) - 7(1 + 6b) = 49 \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки:

Первое уравнение:

$6a - 3 + 42 - 6b = 51$

$6a - 6b + 39 = 51$

$6a - 6b = 12$

Разделим обе части на 6: $a - b = 2$

Второе уравнение:

$2a + 12 - 7 - 42b = 49$

$2a - 42b + 5 = 49$

$2a - 42b = 44$

Разделим обе части на 2: $a - 21b = 22$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ a - 21b = 22 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 2 + b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2 + b) - 21b = 22$

$2 - 20b = 22$

$-20b = 20$

$b = -1$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 2 + b$:

$a = 2 + (-1)$

$a = 1$

Проверим решение $(a=1; b=-1)$, подставив его в упрощенную систему: $1 - (-1) = 2$ и $1 - 21(-1) = 1 + 21 = 22$. Верно.

Ответ: $a = 1, b = -1$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3x - 2y}{4} - \frac{4x + 5}{3} = -5 \\ \frac{6x - 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.

Для первого уравнения умножим обе части на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{3x - 2y}{4} - 12 \cdot \frac{4x + 5}{3} = 12 \cdot (-5)$

$3(3x - 2y) - 4(4x + 5) = -60$

$9x - 6y - 16x - 20 = -60$

$-7x - 6y = -40$

$7x + 6y = 40$

Для второго уравнения умножим обе части на общий знаменатель 10:

$10 \cdot \frac{6x - 5y}{2} + 10 \cdot \frac{2x + y}{5} = 10 \cdot 9$

$5(6x - 5y) + 2(2x + y) = 90$

$30x - 25y + 4x + 2y = 90$

$34x - 23y = 90$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 7x + 6y = 40 \\ 34x - 23y = 90 \end{cases}$

Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 23, а второе на 6, чтобы избавиться от $y$:

$\begin{cases} 23(7x + 6y) = 23 \cdot 40 \\ 6(34x - 23y) = 6 \cdot 90 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 161x + 138y = 920 \\ 204x - 138y = 540 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(161x + 138y) + (204x - 138y) = 920 + 540$

$365x = 1460$

$x = \frac{1460}{365}$

$x = 4$

Подставим $x = 4$ в первое упрощенное уравнение $7x + 6y = 40$:

$7(4) + 6y = 40$

$28 + 6y = 40$

$6y = 12$

$y = 2$

Проверим решение $(4; 2)$, подставив его во второе упрощенное уравнение: $34(4) - 23(2) = 136 - 46 = 90$. Верно.

Ответ: $x = 4, y = 2$.