Номер 1207, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1207, страница 232.

Условие.

1207. Можно ли утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Да, можно утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$. Для доказательства этого утверждения преобразуем данное выражение.

Выполним тождественное преобразование, прибавив и вычтя из выражения одночлен $n$:

$n^3 + 2n = n^3 - n + 2n + n = (n^3 - n) + 3n$

Получилась сумма двух слагаемых: $(n^3 - n)$ и $3n$.

Второе слагаемое, $3n$, очевидно, делится на 3 при любом натуральном $n$, так как одним из его множителей является число 3.

Рассмотрим первое слагаемое, $n^3 - n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители для наглядности, получим:

$(n-1)n(n+1)$

Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. В любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3. Следовательно, и их произведение всегда будет делиться на 3.

Таким образом, мы доказали, что оба слагаемых в выражении $(n^3 - n) + 3n$ делятся на 3. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое в сумме делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Следовательно, выражение $n^3 + 2n$ делится на 3 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: да, можно.