Номер 1202, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1202, страница 232.

Условие.

1202. Пусть $x+y=a$, $xy=b$. Докажите, что:

1) $x^2+y^2=a^2-2b$;

2) $x^3+y^3=a^3-3ab$;

3) $x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства равенства $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Выразим из этой формулы сумму квадратов $x^2 + y^2$:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

Согласно условию, $x + y = a$ и $xy = b$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$.

2) Для доказательства равенства $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$ воспользуемся формулой куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Сгруппируем слагаемые и выразим из формулы сумму кубов $x^3 + y^3$:

$(x + y)^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x + y)$

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

Подставим известные по условию значения $x + y = a$ и $xy = b$:

$x^3 + y^3 = a^3 - 3b \cdot a = a^3 - 3ab$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$.

3) Для доказательства равенства $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$ представим $x^4 + y^4$ как сумму квадратов.

$x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2$

Применим формулу для суммы квадратов, которую мы использовали в первом пункте: $(m+n)^2-2mn$. В нашем случае $m=x^2$ и $n=y^2$.

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$

Из первого пункта мы уже знаем, что $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$. По условию $xy = b$. Подставим эти выражения в нашу формулу:

$x^4 + y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2(b)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$x^4 + y^4 = ((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2b + (2b)^2) - 2b^2$

$x^4 + y^4 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.