Номер 1203, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1203, страница 232.

Условие.

1203. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что выражение $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$ является квадратом некоторого натурального числа при любом натуральном $n$, преобразуем его.

Сначала сгруппируем множители. Удобнее всего перемножить первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$[n(n + 3)][(n + 1)(n + 2)] + 1$

Теперь раскроем скобки в каждой группе множителей:

$n(n + 3) = n^2 + 3n$

$(n + 1)(n + 2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для упрощения введем замену. Пусть $a = n^2 + 3n$. Тогда выражение можно переписать в следующем виде:

$a(a + 2) + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$a^2 + 2a + 1$

Полученное выражение является полным квадратом суммы, согласно формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $a$ выражение $n^2 + 3n$:

$(n^2 + 3n + 1)^2$

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$. Это означает, что $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Следовательно, их сумма, увеличенная на 1, то есть $n^2 + 3n + 1$, также является натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение при любом натуральном $n$ равно квадрату натурального числа $n^2 + 3n + 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение равно $(n^2 + 3n + 1)^2$, что является квадратом натурального числа для любого натурального $n$.