Номер 166, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 166, страница 40.

Условие.

166. Не выполняя вычислений, сравните:

1) $(-5,8)^2$ и $0$;

2) $0$ и $(-3,7)^3$;

3) $(-12)^7$ и $(-6)^4$;

4) $-8^8$ и $(-8)^8$;

5) $(-17)^6$ и $17^6$;

6) $(-34)^5$ и $(-39)^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сравниваем числа $(-5,8)^2$ и $0$.
При возведении любого отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат всегда будет положительным. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $(-5,8)^2 > 0$.
Ответ: $(-5,8)^2 > 0$.

2) Сравниваем числа $0$ и $(-3,7)^3$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат всегда будет отрицательным. Ноль больше любого отрицательного числа. Следовательно, $0 > (-3,7)^3$.
Ответ: $0 > (-3,7)^3$.

3) Сравниваем числа $(-12)^7$ и $(-6)^4$.
Число $(-12)^7$ является отрицательным, так как основание отрицательное, а показатель степени (7) — нечетный. Число $(-6)^4$ является положительным, так как основание отрицательное, а показатель степени (4) — четный. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $(-12)^7 < (-6)^4$.
Ответ: $(-12)^7 < (-6)^4$.

4) Сравниваем числа $-8^8$ и $(-8)^8$.
Выражение $-8^8$ означает $-(8^8)$, и его значение является отрицательным. Выражение $(-8)^8$ означает возведение отрицательного числа в четную степень (8), и его значение является положительным. Отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, $-8^8 < (-8)^8$.
Ответ: $-8^8 < (-8)^8$.

5) Сравниваем числа $(-17)^6$ и $17^6$.
При возведении отрицательного числа в четную степень (6) результат равен возведению соответствующего положительного числа в ту же степень. То есть, для любого числа $a$ и четного показателя $n$, выполняется равенство $(-a)^n = a^n$. Следовательно, $(-17)^6 = 17^6$.
Ответ: $(-17)^6 = 17^6$.

6) Сравниваем числа $(-34)^5$ и $(-39)^5$.
Оба числа возводятся в одинаковую нечетную степень (5). Функция $y=x^5$ является возрастающей, что означает: чем больше основание, тем больше значение степени. Сравним основания: $-34$ и $-39$. Поскольку $-34 > -39$, то и $(-34)^5 > (-39)^5$.
Ответ: $(-34)^5 > (-39)^5$.