Номер 167, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 167, страница 40.

Условие.

167. Не выполняя вычислений, сравните:

1) 0 и $(-1,9)^{10}$;

2) 0 и $(-76)^{15}$;

3) $(-0,1)^{12}$ и $(-12)^{25}$;

4) $\left(-4 \frac{7}{9}\right)^{9}$ и $\left(-5 \frac{8}{11}\right)^{9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) 0 и $(-1,9)^{10}$

Основание степени $(-1,9)$ является отрицательным числом, а показатель степени 10 — четным. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Так как любое положительное число больше нуля, то $(-1,9)^{10} > 0$. Ответ: $0 < (-1,9)^{10}$.

2) 0 и $(-76)^{15}$

Основание степени $(-76)$ является отрицательным числом, а показатель степени 15 — нечетным. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. Так как любое отрицательное число меньше нуля, то $(-76)^{15} < 0$. Ответ: $0 > (-76)^{15}$.

3) $(-0,1)^{12}$ и $(-12)^{25}$

Рассмотрим число $(-0,1)^{12}$. Основание степени отрицательное ($-0,1$), а показатель степени четный (12). Следовательно, результат будет положительным: $(-0,1)^{12} > 0$. Теперь рассмотрим число $(-12)^{25}$. Основание степени отрицательное ($-12$), а показатель степени нечетный (25). Следовательно, результат будет отрицательным: $(-12)^{25} < 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $(-0,1)^{12} > (-12)^{25}$. Ответ: $(-0,1)^{12} > (-12)^{25}$.

4) $(-4\frac{7}{9})^{9}$ и $(-5\frac{8}{11})^{9}$

Сравниваемые числа возведены в одну и ту же нечетную степень 9. Функция $y=x^9$ является возрастающей для всех действительных чисел, что означает: если $a > b$, то и $a^9 > b^9$. Поэтому достаточно сравнить основания: $-4\frac{7}{9}$ и $-5\frac{8}{11}$. Сравним сначала их модули: $|-4\frac{7}{9}| = 4\frac{7}{9}$ и $|-5\frac{8}{11}| = 5\frac{8}{11}$. Так как $4 < 5$, то $4\frac{7}{9} < 5\frac{8}{11}$. Для отрицательных чисел, чем меньше модуль, тем больше само число. Следовательно, $-4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11}$. Поскольку основания находятся в таком соотношении и функция $y=x^9$ возрастающая, то и сами степени будут в том же соотношении. Ответ: $(-4\frac{7}{9})^{9} > (-5\frac{8}{11})^{9}$.