Номер 169, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 169, страница 40.

Условие.

169. Сравните с нулём значения выражений: $5^{101}$; $-5^{101}$; $(-5)^{101}$; $-(-5)^{101}$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

$5^{101}$

Основание степени (5) является положительным числом. Положительное число, возведенное в любую степень, всегда будет положительным. Следовательно, $5^{101} > 0$.

Ответ: $5^{101} > 0$.

$-5^{101}$

В данном выражении сначала вычисляется степень $5^{101}$, результат которой является положительным числом, а затем к этому результату применяется унарный минус. Таким образом, итоговое значение будет отрицательным. Следовательно, $-5^{101} < 0$.

Ответ: $-5^{101} < 0$.

$(-5)^{101}$

Основание степени (-5) является отрицательным числом, а показатель степени (101) — нечётным. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда будет отрицательным. Следовательно, $(-5)^{101} < 0$.

Ответ: $(-5)^{101} < 0$.

$-(-5)^{101}$

Сначала вычисляется значение выражения в скобках. Как было показано выше, $(-5)^{101}$ — это отрицательное число. Затем к этому отрицательному числу применяется унарный минус. В результате получается положительное число. Следовательно, $-(-5)^{101} > 0$.

Ответ: $-(-5)^{101} > 0$.

Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

Да, есть. Для ответа на этот вопрос упростим выражения и сравним их между собой.

Сравним выражения $-5^{101}$ и $(-5)^{101}$. По свойству степени с нечётным показателем, $(-a)^n = -a^n$, если n — нечётное число. Так как 101 — нечётное число, то $(-5)^{101} = -5^{101}$. Значит, эти два выражения равны.

Сравним выражения $5^{101}$ и $-(-5)^{101}$. Упростим второе выражение, используя результат предыдущего шага: $-(-5)^{101} = -(-5^{101}) = 5^{101}$. Значит, эти два выражения также равны.

Ответ: Да, есть две пары равных выражений: $-5^{101} = (-5)^{101}$ и $5^{101} = -(-5)^{101}$.